Bestimme die Zahl \int_{0}^{k}

Question

Hallo, ich habe eine Frage bezüglicher einer Aufgabe. Wie muss man hier vorgehen?

Aufgabe: Bestimme die Zahl k > 0 mit \( \int\limits_{0}^{k} \) \( \sqrt{xdx} \)=6

Answer 1

Hallo

man integriert x^1/2 setz die Grenzen 0 und k ein  und das Ergebnis =6 daraus bestimmt man k,(Kontrolle: k=3) war falsch, Danke Mathef richtig \( \sqrt[3]{81} \)

Gruß lul

Comments

nicht 3.Wurzel aus 81 ???

Answer 2

 \( \int\limits_{0}^{k} \) \( \sqrt{x}dx = \frac{2}{3} \cdot k^{ \frac{3}{2} } \)

Und \(  \frac{2}{3} \cdot k^{ \frac{3}{2} } = 6   \) gibt \(  k^{ \frac{3}{2} } = 9 \)

         k^3 =  81   ==>   k = 3. Wurzel aus 81

Comments

Rechne ich im Prinzip \( \frac{2}{3} \) * \( \frac{3}{2} \), damit ich die 6 raus bekomme??

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Hab was ergänzt.

Answer 3

Aloha :)

Erstmal würde ich das Integral berechnen:$$\int\limits_0^k\sqrt x\,dx=\int\limits_0^kx^{\frac12}\,dx=\left[\frac23x^{\frac32}\right]_0^k=\frac23\,k^{\frac32}=\frac23\sqrt{k^3}$$Dieser Wert soll gleich \(6\) sein:$$\left.\frac23\sqrt{k^3}=6\quad\right|\cdot\frac32$$$$\left.\sqrt{k^3}=9\quad\right|(\cdots)^2$$$$\left.k^3=81\quad\right|\sqrt[3]{\cdots}$$$$k=\sqrt[3]{81}=\sqrt[3]{3^3\cdot3}=\sqrt[3]{3^3}\cdot\sqrt[3]{3}=3\sqrt[3]{3}$$

Answer 4

Bestimme die Zahl k > 0 mit \( \int\limits_{0}^{k} \) \( \sqrt{x} \)•dx=6

Text erkannt:

\( 6=\int \limits_{0}^{k} \sqrt{x} \cdot d x=6=\int \limits_{0}^{k} x^{\frac{1}{2}} \cdot d x=\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{3}{2}}=\left[\frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{k}=\left[\frac{2}{3} \cdot k^{\frac{3}{2}}\right]-0 \) \( \frac{2}{3} \cdot k^{\frac{3}{2}}=6 \)
\( k^{\frac{3}{2}}=\left.9\right|^{\frac{2}{3}} \)
\( k=9^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{81} \approx 4,33 \)