Intuitive Erklärung Kreisteilungspolynome gesucht

Question

Auf der Suche nach einer intuitiven Erklärung:

Aktuell habe ich in der Vorlesung das Thema Kreisteilungpolynome.

Dabei mussten wir folgendes zeigen:

z.Z.: $\Phi_{2n} (x) = \Phi_n (-x)$ für $n \geq 3$ ungerade.

Beweis:

Jede primitive 2n-te Einheitswurzel hat die Form $- \zeta_n^k = \zeta_{2n}^{2k+n}$.

$$\Phi_{2n} (x) = \prod\limits_{\zeta^{2n} = 1, \zeta \text{primitiv}} (x- \zeta) = \prod\limits_{\zeta^{2n} = 1, \zeta \text{primitiv}} -(-x + \zeta) = \prod\limits_{\zeta^n = 1, \zeta \text{primitiv}} (-x - \zeta) = \Phi_n (-x)$$

Frage:

Sieht irgendwie alles ganz logisch aus, jedoch wäre ich froh wenn mir jemand intuitiv erklären könnte, wieso dieser Beweis so funktioniert bzw. was dahinter steckt.

Comments

Bzw. was ich nicht verstehe ist bereits die erste Zeile des Beweises, also woher weiß ich, dass eine 2n-te primitive Einheitswurzel eben so aussieht?