Matrix umschreiben, Bruch

Question

Hallo, ich habe folgende Aufgabe nicht verstanden und brauche dabei eure Hilfe.

Aufgabe:

f(x) = \( \frac{x_1^3-3x_1^2x_3+3x_1x_3^2-x_3^3}{x_1-x_3}+x_1x_2  \)

Der Ausdruck muss in eine quadratische Matrix x^T Ax, mit x = (x₁,x₂,x₃ )^T  umgeschrieben werden. Wie macht man das?

Der erste Teil in Klammern ist der Zähler, dann kommt / als Bruchstrich und dann in Klammern der Nenner, da es hier nicht anders funktioniert mit Index + Potenz. Der Teil am Ende steht hinter dem Bruch.

Answer 1

 \( \frac{x_1^3-3x_1^2x_3+3x_1x_3^2-x_3^3}{x_1-x_3}+x_1x_2  \)

=  \( \frac{(x_1-x_3)^3}{x_1-x_3}+x_1x_2  \)

= \( x_1^2 -2x_1x_3 +x_3^2 +x_1 x_2\)   ==>   Matrix ist

1    0,5     -1
0.5   0      0
-1     0       1

Die Faktoren der quadratischen Teile in die

Diagonale und bei den gemischten immer die

Hälfte an die entsprechenden Positionen.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Den Teil mit der binomischen Formel habe ich verstanden. Doch wie kommt man auf diese Matrix?

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Leider kann ich das nicht nachvollziehen.

Wo kann man über diese Regeln etwas nachlesen? Ich weiß nicht, welche Stichworte hierbei nötig sind, google zeigt nichts ähnliches.

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Sieh dir mal die Beispiele an bei

https://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node60.html

Die Zahlen in der Diagonale der Matrix findest du als

Faktoren vor x₁²    x₂² .. etc wieder .

Bei den anderen Summanden, etwa was mit x₁x₂ ist je die Hälfte

des Vorfaktors an der Stelle 1,2 und die andere Hälfte bei 2,1 .

Diese Terme nennen sich "quadratische Formen"

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Vielen Dank, danach habe ich gesucht!