Aufgaben zu Matrix 4×4

Question

Aufgabe:

In Abhängigkeit von a ∈ R sei A ∈ R^4x4 die Matrix

A=

2	2	3	4
1	3	3	4
1	2	4	4
a	2a	3a	4a+1

Weiter sei Φ: R⁴ → R⁴ der Endomorphismus von R⁴, der durch v → A · v gegeben ist.

a) Weisen Sie nach, dass 1 ein Eigenwert von Φ ist. Bestimmen Sie die Dimension des
zugehörigen Eigenraumes E1.

b) Bestimmen Sie eine Basis B des Eigenraums E1.

c) Finden Sie für a = −1 einen Eigenvektor v, der nicht in E1 liegt.

d) Bestimmen Sie für a = −1 die Abbildungsmatrix M_c^c (Φ) von Φ bezüglich der Basis
C = B ∪ {v}.

Problem/Ansatz:

Comments

Hast du denn schon den Lösungsraum \(E_1\) von

\((A-1\cdot E_4)\cdot x=0\) bestimmt oder wenigstens

Rang von \(A-1\cdot E_4\) ?

\(E_4\) soll die 4x4-Einheitsmatrix sein.

Answer 1

a) Suche einen Vektor v≠0 mit   A*v=v .

Also    (A - E)*v=0.

Einer ist z.B. (3,2,-1,-1)^T .

Umformen der Matrix A-E mit Gauss-Algorithmus führt auf

1   2    3   4
0   0    0   0
0  0     0  0
0  0     0  0

Also dim = 3

Wähle die letzten drei Variablen beliebig (s,t,u) und

dann gibt die 1. Gleichung x1 = -2s-3t-4u , also sind die

Lösungen alle so \( \vec{x}=\begin{pmatrix} -2s-3t-4u \\s\\t\\u \end{pmatrix} \)

\( =s\cdot\begin{pmatrix} -2 \\1\\0\\0 \end{pmatrix} +t\cdot\begin{pmatrix} -3 \\0\\1\\0 \end{pmatrix}+u\cdot\begin{pmatrix} -4 \\0\\0\\1 \end{pmatrix}\)

und du hast die Basisvektoren.

c) Bei a=-1 gibt es den Eigenwert 3 und ein Eigenvektor dazu ist z.B.

(1,1,1,-1)^T .

d)  Basis aus Eigenvektoren, also Diagonalgestalt

1    0    0    0
0    1    0    0
0    0    1    0
0    0    0    3

Comments

für a) dim = 3? aber Rang(A-E)= 1 und Rang= dim

Können Sie nochmal erklären warum es 3 ist ^-^

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Es geht ja nicht um den Rang des Gleichungssystems

sondern um die dim des Eigenraumes.

Das wäre sozusagen der Kern von A-xE

Und wegen rang + dim (Kern) = 4

ist dim(Eigenraum)=3.