Hallo :-)
Diese Frage baut im Prinzip auf deine Fragestellung ( https://www.mathelounge.de/914182/was-ist-ein-vektorraum-lineare-algebra ) auf.
Man kann sich jetzt die Frage stellen, ob Vektoren linear abhängig sind, also als Linearkombination vorkommen. Man interessiert sich nun nur noch für all diejenigen Vektoren, die linear unabhängig sind, denn diese reichen aus, eine lineare Hülle (oder Span) zu bilden. Hier mal dein Beispiel zur Verdeutlichung:
\(U:=\left\langle\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)\right\rangle \).
Die beiden Vektoren \(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \) sind linear unabhängig. Aber \(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}5.7\\2.4\\3.3\end{array}\right)\) sind es nicht, denn es gilt
\(3.3\cdot \left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+1.2\cdot \left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}5.7\\2.4\\3.3\end{array}\right) \).
Also gilt
\(U=\left\langle\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)\right\rangle=\left\langle\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}5.7\\2.4\\3.3\end{array}\right)\right\rangle\).
Angenommen, du hast nur die rechte Schreibweise \(U=\left\langle\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}5.7\\2.4\\3.3\end{array}\right)\right\rangle\) gegeben. Jetzt will man wissen, wieviele Vektoren notwendig sind die Menge \(U\) zu erhalten; die (Teil)-Menge der linear unabhängigen Vektoren. Hat man diese gefunden (wie man das macht ist nochmals eine weitere Geschichte), zählt man diese nur noch. Bei \(U\) sind es die zwei linear unabhängigen Vektoren \(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \).
Die Anzahl an linear unahängigen Vektoren eines Vektorraumes nennt man dann einfach Dimension!
Ker und Bild sind spezielle Vektorräume von linearen Abbildungen, die eine Dimension haben.
