Aloha :)
Du hast die drei Vektoren:$$\vec d_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec d_2=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\quad;\quad\vec d_3\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}$$
Aus den ersten beiden Vektoren kannst du folgende Standard-Basisvektoren kombinieren:
$$\vec 2\vec d_1-\vec d_2=\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\vec e_x$$$$\vec d_2-\vec d_1=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\vec e_z$$Daher kannst du aus \(\vec d_1\) und \(\vec d_2\) auch \(\vec d_3\) kombinieren:$$\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}=\vec e_x+3\vec e_z=(2\vec d_1-\vec d_2)+3(\vec d_2-\vec d_1)=\vec 2\cdot d_2-\vec d_1$$
Um \(D\) zu einem Erzeugendensystem des \(\mathbb R^3\) zu ergänzen, brauchen wir eine Möglichkeit, die \(y\)-Komponente der Vektoren zu verändern. Daher wäre eine mögliche Ergänzung:$$\vec d_4=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$
