Aloha :)
Bestimmung der Eigenwerte
Du hast auf der Hauptdiagonalen der Matrix von jedem Element ein \(\lambda\) subtrahiert und willst nun die Nullstellen der zugehörigen Determinante bestimmen. Das ist genau der richtige Weg:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrrr}-\lambda & -3 & 0 & 2\\1 & 4-\lambda & 0 & 2\\2 & 2 & 3-\lambda & 2\\0 & 0 & 0 & 1-\lambda\end{array}\right|$$Man kann aus einer Spalte oder einer Zeile der Determinante Faktoren vor die Determinante ziehen. Aus der vierten Zeile ziehen wir den Faktor \((1-\lambda)\) vor die Determinante und aus der dritten Spalte den Faktor \((3-\lambda)\):$$0\stackrel!=(1-\lambda)(3-\lambda)\left|\begin{array}{rrrr}-\lambda & -3 & 0 & 2\\1 & 4-\lambda & 0 & 2\\2 & 2 & 1 & 2\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right|$$Jetzt entwickeln wir die Determinante nach der 4-ten Zeile:$$0\stackrel!=(1-\lambda)(3-\lambda)\left|\begin{array}{rrrr}-\lambda & -3 & 0\\1 & 4-\lambda & 0\\2 & 2 & 1\end{array}\right|$$und weiter nach der 3-ten Spalte:$$0\stackrel!=(1-\lambda)(3-\lambda)\left|\begin{array}{rrrr}-\lambda & -3\\1 & 4-\lambda\end{array}\right|=(1-\lambda)(3-\lambda)(\lambda^2-4\lambda+3)$$$$0\stackrel!=(1-\lambda)(3-\lambda)(\lambda-3)(\lambda-1)=(\lambda-1)^2(\lambda-3)^2$$Die Matrix hat also die beiden Eigenwerte \(\lambda_1=1\) und \(\lambda_2=3\).
Eigenvektoren zum Eigenwert \(\lambda_1=1\)
Die zugehörigen Eingenvektoren findest du, indem du die Eigenwerte von der Hauptdiagonalen subtrahierst und den Kern der entstehenden Matrix bestimmst. Unser Ziel ist es, so viele Spalten wie möglich zu erzeugen, die aus lauter Nullen und genau einer Eins bestehen. Für den Eigenwert \(\lambda_1=1\) berechnen wir:$$\begin{array}{rrrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = & \text{Operation}\\\hline-1 & -3 & 0 & 2 & 0 &\cdot(-1)\\1 & 3 & 0 & 2 & 0 &+Z_1 \\2 & 2 & 2 & 2 & 0 &+2Z_1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\hline1 & 3 & 0 & -2 & 0 &\\0 & 0 & 0 & 4 & 0 &\colon4\\0 & -4 & 2 & 6 & 0 &\colon2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\hline1 & 3 & 0 & -2 & 0 &+2Z_2\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 &\\0 & -2 & 1 & 3 & 0 &-3Z_2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\hline1 & 3 & 0 & 0 & 0 &\Rightarrow x_1+3x_2=0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 &\Rightarrow x_4=0\\0 & -2 & 1 & 0 & 0 &\Rightarrow -2x_2+x_3=0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}$$Daraus lesen wir jetzt die Bedingungs-Gleichungen für die Eigenvektoren ab und schreiben sie so auf, dass die zur einzelnen Eins gehörende Variable links vom Gleichheitszeichen steht:$$x_1=-3x_2\quad;\quad x_4=0\quad;\quad x_3=2x_2$$Damit können wir nun nämlich alle Lösungen angeben:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3x_2\\x_2\\2x_2\\0\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}-3\\1\\2\\0\end{pmatrix}$$und erhalten einen Eigenvektor \((-3;1;2;0)^T\) zum Eigenwert \(\lambda_1=1\).
Eigenvektoren zum Eigenwert \(\lambda_2=3\)
Für den Eigenwerte \(\lambda_2=3\) verfahren wir analog:$$\begin{array}{rrrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = & \text{Operation}\\\hline-3 & -3 & 0 & 2 & 0 &+Z_4\\1 & 1 & 0 & 2 & 0 &+Z_4\\2 & 2 & 0 & 2 & 0 &+Z_4\\0 & 0 & 0 & -2 & 0 &\colon(-2)\\\hline-3 & -3 & 0 & 0 & 0 &+3Z_2\\1 & 1 & 0 & 0 & 0 &\\2 & 2 & 0 & 0 & 0 &-2Z_2\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\\hline0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\1 & 1 & 0 & 0 & 0 &\Rightarrow x_1+x_2=0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \Rightarrow x_4=0\end{array}$$Mit den beiden Bedingungsgleichungen \(x_2=-x_1\) und \(x_4=0\) lauten alle Lösungen:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\-x_1\\x_3\\0\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}$$Damit haben wir zwei Eigenvektoren gefunden: \((1;-1;0;0)^T\) und \((0;0;1;0)^T\).
