Beweise: es gibt g: Y -> X mit fog = id_Y => f surjektiv

Question

Gegeben \(f: X \rightarrow Y\) und \(X, Y\) nicht leere Mengen.

 

Beweise:

Es gibt \(g: Y \rightarrow X\), so dass \(f \circ g = id_Y \Rightarrow f\)  surjektiv

 

Beweis:

Sei \(y \in Y\), so ist \(y = f(g(y))\) und wie kann man daraus schliessen, dass f surjektiv ist? Anschaulich verstehe ich das und es ist mir klar, dass es so ist, aber ich kann es nicht begründen. Es ist mir auch klar, dass jedes Element der Wertemenge Y ein Element der Definitionsmenge "hat", aber um zu wissen, dass f surjektiv, muss ich irgendwie begründen können, dass jedem x man ein Elemnt y zuordnen kann, aber das folgt irgendwie nicht direkt aus der g funktion, sonder aus \(f \circ g = id_y\) und das ist jetzt mein Problem.

Answer 1

Seien \(g: Y\rightarrow X, f\circ g =in_{Y}\) und \(y\in Y\), dann ist \(x:=g(y)\in X\) mit \(f(x)=f(g(y))=(f\circ g)(y)=y\) \(\overset{\forall y\in Y}{\Rightarrow}\) \(f\) ist surjektiv

Das ist völlig ausreichend