Integralrechnungen in R

Question

Text erkannt:

Bestimmen Sie folgende Integrale:
(i)
\( \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos x}{1-\sin x} d x \)
(ii)
\( \int \limits_{1}^{5} x \sqrt{x-1} d x \)

Aufgabe:

Comments

mit Weg:

https://www.integralrechner.de/

Nutze bei 1:

f(x) = ln(g(x)) -> f '(x) = g'(x)/g(x)

Im Zähler steht "fast schon" die Ableitung des Nenners. Du muss nur noch mit (-1) multiplizieren.

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Soll denn "in R" bedeuten, dass du reelle Analysis machst?

https://de.wikipedia.org/wiki/R_(Programmiersprache) ist ja auch modern.

Answer 1

\( \int x \cdot \sqrt{x-1} \cdot d x \)
Substitution:
\( \begin{array}{l} \sqrt{x-1}=u \rightarrow \rightarrow x-1=u^{2} \rightarrow \rightarrow x=u^{2}+1 \rightarrow \rightarrow d x=2 u \cdot d u \\ \int x \cdot \sqrt{x-1} \cdot d x=\int\left(u^{2}+1\right) \cdot u \cdot 2 u \cdot d u=\int\left(2 u^{4}+2 u^{2}\right) \cdot d u=\frac{2}{5} u^{5}+\frac{2}{3} u^{3} \end{array} \)
Re-Substitution:
\( \int x \cdot \sqrt{x-1} \cdot d x=\frac{2}{5} \cdot(\sqrt{x-1})^{5}+\frac{2}{3} \cdot(\sqrt{x-1})^{3}+C=\frac{2}{5} \cdot(x-1)^{\frac{5}{2}}+\frac{2}{3} \cdot(x-1)^{\frac{3}{2}}+C \)

Answer 2

Aloha :)

zu i) Beim ersten Integral steht im Zähler bis auf das Vorzeichen die Ableitung des Nenners. Bei solchen Integralen kommt immer der Logarihtmus ins Spiel:$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln\left|f(x)\right|+C$$Daher ist klar:$$\int\limits_0^{\frac\pi6}\frac{\cos x}{1-\sin x}\,dx=-\int\limits_0^{\frac\pi6}\frac{-\cos x}{1-\sin x}\,dx=-\ln|1-\sin x|\bigg|_0^{\frac\pi6}=-\ln\frac12+\ln1=\ln2$$

zu ii) Hier würde ich den Integrand umschreiben und das Integral aufteilen:$$\int\limits_1^5x\sqrt{x-1}\,dx=\int\limits_1^5\left(\;(x-1)\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}\;\right)\,dx=\int\limits_1^5(x-1)^{\frac32}dx+\int\limits_1^5(x-1)^{\frac12}dx$$$$=\left[\frac25(x-1)^{\frac52}\right]_1^5+\left[\frac23(x-1)^{\frac32}\right]_1^5=\frac25\,4^{\frac52}+\frac23\,4^{\frac32}=\frac25\cdot32+\frac23\cdot8=\frac{272}{15}$$