Zeigen Sie, dass phi genau dann injektiv ist

Question

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Sei \( \varphi \) eine \( K \)-lineare Abbildung zwischen den \( K \)-Vektorräumen \( V \) und \( W \). Zeigen Sie, dass \( \varphi \) genau dann injektiv ist, wenn \( \exists g: W \rightarrow V: g \circ \varphi=i d_{v} \) gilt.

Kann wer diese Aufgabe lösen?

mit freundlichen Grüßen

vlad

Answer 1

\( \exists g: W \rightarrow V: g \circ \varphi=i d_{v} \)

Seien x,y ∈ V und φ(x) = φ(y)

==>  g(φ(x)) = g(φ(y))

==>   id(x) = id(y)   ==>   x=y    , also φ injektiv.

umgekehrt: Sei φ injektiv. Dann gibt es zu jedem y ∈ Bild( φ )

genau ein x:=y*  ∈ V mit    φ(x)=y .

Definiere g:W→V durch g(y)=0    für    y∉ Bild( φ )

                                   und g(y) = y* für y ∈ Bild( φ ).

Dann folgt g o φ  = id_V , denn sei x∈V

==> ( g o φ ) (v) = g ( φ (v) ) = v , weil  φ (v) ∈ Bild( φ ).

Answer 2

Wenn eine solche Funktion \(g\) existiert, so folgt

\(\begin{aligned}\varphi(x) = \varphi(y) \implies g(\varphi(x)) = g(\varphi(y)) \implies x = y\end{aligned}\).

Umgekehrt, ist \(\varphi(x)\) injektiv, so kannt du eine Funktion \(g\) mit der obigen Eigenschaft sehr einfach konstruieren, nämlich

\(\begin{aligned} g(y)=\left\{\begin{array}{ll} x \in \varphi^{-1}[\{y\}], & \varphi^{-1}[\{y\}] \neq \varnothing \quad\left(\Longrightarrow\left|\varphi^{-1}[\{y\}]\right|=1\right) \\[5pt] x \in V \text { beliebig, } & \text { sonst } \end{array} .\right.\end{aligned} \)

Hier bezeichnet \( \varphi^{-1}[\{y\}] \) das Urbild von \( y \) unter \( \varphi \).