Question

Bestimme sie den Grenzwert dieses uneigentliche Integral für lim->0

\( \int \limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x \)

Grundsätzlich habe ich eigentlich verstanden wie man uneigentliche integrale löst, allerdings habe hier einige Probleme. Insbesondre dabei wie man die Stammfunktion von diesen Bruch bildet. Kann mir jemand die Nötigen schritte erklären um auf die Form:

\( =\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} \)

Zu kommen?

LG

Answer 1

Eine Stammfunktion von \(x^n\) ist \( \frac{x^{n+1}}{n+1} \).

In deiner Funktion ist \( n=\frac{-1}{3} \).

Comments

Hallo vielen Dank für deine Antwort!

So wie ich da richtig verstanden habe meinst du, also dass die Stammfunktion x^-1/3 lautet. Allerdings habe ich da ein Problemen, da ich den genauen Grenzwert bestimmen muss, müsste ich doch das Integral Ausrechnen, hier dann für die untere Grenze c einsetzen. Es fällt mich allerdings recht schwer mit x^-1/3 zu rechnen.

Hast du vielleicht einen Tipp?

LG

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So wie ich da richtig verstanden habe meinst du, also dass die Stammfunktion x^-1/3 lautet.

Da hast du mich sehr falsch verstanden. So lautet nicht die Stammfunktion, sondern die Funktion selbst.

Den Term der Stammfunktion hast du in deiner Frage

Kann mir jemand die Nötigen schritte erklären um auf die Form:\( =\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} \)

genannt.

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Achso jetzt habe ich es verstanden.

Eine kurze nachfrage aber noch. Sagen wir die Funktion wäre 5 Wurzel(x²). Wäre dann mein n=-2/5?

LG

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Wenn es wirklich \( \sqrt[5]{x^2} \) ist, dann ist n=2/5.

-2/5 wäre es beim Term \( \frac{1}{\sqrt[5]{x^2}} \) .

Answer 2

\( \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \)=\( x^{-\frac{1}{3}} \). Dazu die Stammfunktion ist \(\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} \).

Zu berechnen ist der Limes für u gegen 0 von \( \int\limits_{u}^{1} \)\(\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} \)dx=Limes für u gegen 0 von \( \frac{3}{2} \)-\( \frac{3u^{\frac{3}{2}}}{2} \)=\( \frac{3}{2} \).