Welche der folgenden Punkte liegen auf mindestens einer der Asymptoten von H?

Question

Aufgabe:

Die Hyperbel \( H \) besitze bezüglich des Koordinatensystems \( \mathrm{F}=\left(\left(\begin{array}{c}3 \\ -1\end{array}\right) ; \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1\end{array}\right), \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1 \\ 1\end{array}\right)\right) \) die euklidische Normalform \( 32 z_{1}^{2}-18 z_{2}^{2}+1=0 . \)
Welche der folgenden Punkte liegen auf mindestens einer der Asymptoten von \( H ? \)
\( \square\left(\begin{array}{c}3 \\ -1\end{array}\right) \square\left(\begin{array}{c}9 \\ 12\end{array}\right) \square\left(\begin{array}{c}5 \\ 13\end{array}\right) \)
Hinweis: Beachten Sie, dass die drei fraglichen Punkte in Standardkoordinaten (nicht in den Koordinaten bezüglich \( \mathbb{F} \) ) angegeben sind.

Problem/Ansatz:

ich weiß dass das Koordinatensystem von F so aussieht:

F= 1/√2 * Fv+ (3,-1)

mit F=

-1	1
1	1

Dann habe ich versucht alle Punkte bzgl des Koordinatensystems von F darzustellen.

P_F=F*P_E

Dabei habe ich folgende Punkte heraus:

(3,-1) = 1/√2(-4,2)

(9,12)=1/√2(3,21)

(5,13)=1/√2(8,18)

Ist das bisdahin so richtig?

Wie komme ich jetzt auf die Asymptoten? und wie verwende ich dabei die euklidische Normalform?

Answer 1

Hallo,

Wie komme ich jetzt auf die Asymptoten?

Schlag nach bei Wikipedia ;-)

Im F-System haben die Asymptoten die Steigung $${}^Fm_{1,2}= \pm \frac 43 \quad \text{wg.}\space \sqrt{\frac{32}{18}} = \frac43$$transformiere diese Richtung in das Standardsystem, so erhält man die Steigungen$$m_1=7, \quad m_2=\frac 17$$und natürlich kreuzen sich die Asymptoten im Punkt \((3;\,-1)\). Also sind die Geraden$$g_1:\quad x= \begin{pmatrix}3\\ -1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}7\\ 1\end{pmatrix} \\ g_2: \quad x = \begin{pmatrix}3\\ -1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\ 7\end{pmatrix}$$die Asymptoten im Standardsystem.

https://www.desmos.com/calculator/016lnv6pri

\((9;\,12)\) liegt auf keiner Asymptote.

Gruß Werner

Comments

Danke für die Erklärung:)

Trotzdem habe ich noch einige Fragen bzw. Unklarheiten:

Also soweit: man kann die gegebene Euklidische Normalform direkt so Umschreien

(x₁² / √32² ) - (x₂²/ √18²)

a=√32 b=√18

und für die Asymptoten macht man  dann y=b/a *x

1- ist es dann nicht √(18/32) = √(9/16) = 3/4  und nicht 4/3 ?

2-Wie transformiert man die Steigung in das Standardkoordinatensystem; Also wie ist man auf die 7 bzw 1/7 gekommen?

Muss man (3,-1) (Ursprung F nicht auch irgendwie umwandeln in E ?

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man kann die gegebene Euklidische Normalform direkt so Umschreiben
(x₁² / √32² ) - (x₂²/ √18²)

Nein - das ist nicht richtig. Es ist vielmehr$$32 z_{1}^{2}-18 z_{2}^{2}+1=0\\\left(\frac{z_1}{\frac1{\sqrt{32}}}\right)^2 - \left(\frac{z_2}{\frac1{\sqrt{18}}}\right)^2 + 1 = 0\\ \implies \frac ba = \frac{\frac{1}{\sqrt{18}}}{\frac1{\sqrt{36}}} = \frac43$$

Wie transformiert man die Steigung in das Standardkoordinatensystem; Also wie ist man auf die 7 bzw 1/7 gekommen?

Eine Steigung von \(\pm4/3\) entspricht einem Richtungsvektor von$$\vec r = \begin{pmatrix}\pm3\\ 4\end{pmatrix}$$Multipliziert man den Rotationsanteil (und nur diesen!) der Transformation von \(F\) mit \(\vec r\) so erhält man$$\frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\pm3\\ 4\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt 2} \begin{pmatrix}\mp3 + 4\\ \pm 3+4\end{pmatrix}$$und da nur die Richtung und nicht der Betrag oder die Position gesucht ist, kann man den Faktor \(1/\sqrt 2\) ignorieren.

Muss man (3,-1) (Ursprung F nicht auch irgendwie umwandeln in E ?

Das ist die Position von \(F\) bezogen auf das Standardsystem. Sie gibt den Ursprung von \(F\) im Standardsystem an. So verstehe ich zumindest die Aufgabe ;-)

Das Bild der Hyperbel spricht zumindest dafür, dass es so ist. Drücke oben auf dem Bild auf das Desmos-Symbol unten rechts im Bild. Dann findest Du auf der Desmos-Website oben links die Gleichung der Hyperbel. Der rote Graph ist die Hyperbel im Standardsystem.