Differentialgleichung lösen y'= - \frac{x}{y+1}

Question

Aufgabe: y'= -\( \frac{x}{y+1} \)

Anfangsbedingung y(0) =1!

Wie gehe ich bei dieser Differentialgleichungen vor?

Wie geht man generell bei einer Differentialgleichungen 1.Ordn. vor?

Problem/Ansatz

Answer 1

Hallo,

y'= -\( \frac{x}{y+1} \)  ->Lösung via Trennung der Variablen

dy/dx=  -\( \frac{x}{y+1} \) | *dx

dy=-\( \frac{x}{y+1} \)  *dx |*(y+1)

(y+1)dy= -xdx

y^2/2 +y= -x^2/2 +C | *2

y^2 +2y= -x^2 +2C |+1

y^2 +2y +1 = -x^2 +1+2C ->2C=C₁

(y+1)^2=  -x^2 +1+C₁ |√

y+1= ±√(-x^2 +1+C₁) |-1

y= ±√(-x^2 +1+C₁) -1 allgemeine Lösung

AWB: y(0) =1 ->negative Lösung entfällt

y= √(-x^2 +1+C₁) -1

1=√1+C₁) -1 |+1

2=√1+C₁) |(..)^2

4=1+C₁

C₁=3

----->

y= √(-x^2 +4) -1

Answer 2

Aloha :)

Die Differentialgleichung selbst erzwingt \(y'(0)=0\). Daher ist die Anfangsbedingung \(y'(0)=1\) ist nicht erfüllbar. Ich vermute daher, du hast dich vertippt und die Anfangsbedingung lautet \(y(0)=1\).

$$\left.y'=-\frac{x}{y+1}\quad\right|\cdot(y+1)$$$$\left.y'\cdot(y+1)=-x\quad\right|\text{links ausmulitplizieren}$$$$\left.y'y+y'=-x\quad\right|\text{integrieren}$$$$\left.\frac12y^2+y=-\frac{x^2}{2}+C\quad\right|\cdot2$$Bevor wir den Rechenschritt durchführen, ist hier eine günstige Stelle, die Integrationskonstante \(C\) aus der Anfangsbedinung \(y(0)=1\) zu bestimmen:$$\frac12\cdot1^2+1=-\frac{0^2}{2}+C\implies C=\frac32$$Damit rechnen wir nun weiter$$\left.y^2+2y=-x^2+3\quad\right|+1$$$$\left.y^2+2y+1=4-x^2\quad\right|\text{1-te binomische Formel links}$$$$\left.(y+1)^2=4-x^2\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.y+1=\sqrt{4-x^2}\quad\right|-1$$Die negative Wurzel als mögliche Lösung entfällt, weil \(y(0)=1>0\) ist.$$y(x)=\sqrt{4-x^2}-1$$

Comments

Danke!

Wie würde der Rechenweg aussehen wenn unsere Anfangsbedingung y(2)=1 ist?

---

Für \(y(2)=1\) würden wir eine andere Konstante \(C\) erhalten:

$$\frac12\cdot1^2+1=-\frac{2^2}{2}+C\implies \frac32=-2+C\implies C=\frac72$$

---

Danke jetzt habe ich es verstanden!

---

Wie würde der Rechenweg aussehen wenn unsere Anfangsbedingung y(2)=1 ist?

anbei ein Desmos-Graph. Dort kannst Du die Anfangsbedingung (fast \((y\gt-1)\)) beliebig wählen und der Graph der Lösung wird angezeigt (rot).

https://www.desmos.com/calculator/4uwrw6rpwq

Verschiebe den schwarzen Punkt bei \(y(2)=1\) mit der Maus.