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Aufgabe:

Beweisen Sie unter der vollständigen Induktion, dass (umgedrehtes) A n Element der natrlichen Zahlen: 9 I 4n + 15n -1 gilt. Notieren Sie die Schritte: Induktionsanfang, -voraussetzung, -behauptung sowie den Beweis.


Problem/Ansatz:

Ich studiere Mathe und habe ganz starke Probleme bei dieser Prüfungsaufgabe. Falls jemand eine Lösung hat, bitte melden. Ich bin am verzweifeln :(

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Funktioniert der Induktionsanfang?

Ja, es ist eine wahre Aussage

1 Antwort

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Beste Antwort

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Aus der Aufgabenstellung schließe ich, dass ihr das Thema vollständige Induktion habt. Du sollst ja alle Schritte detailliert aufschreiben.

Die Induktionsbehauptung ist:$$A(n)\coloneqq\frac{4^n+15n-1}{9}\in\mathbb Z\quad\text{für alle }n\in\mathbb N$$Das heißt, der Zähler dividiert durch den Nenner ergibt immer eine ganze Zahl bzw. der Zähler ist durch den Nenner ohne Rest teilbar.

Induktionsverankerung bei \(n=1\):$$A(n)=A(1)=\frac{4^1+15\cdot1-1}{9}=\frac{18}{9}=2\in\mathbb Z\quad\checkmark$$

Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):

Wir haben die Gültigkeit der Behauptung bis zu einem bestimmten \(n\in\mathbb N\) gezeigt. Wir können als Induktionsvoraussetzung also annehmen, dass es eine eine ganze Zahl \(z\in\mathbb Z\) gibt, sodass gilt:$$A(n)=\frac{4^n+15n-1}{9}=z\in\mathbb Z$$

Mit diesem Wissen betrachten wir die Behauptung nun für das nächste folgende \(n\):$$A(n+1)=\frac{4^{n+1}+15(n+1)-1}{9}=\frac{4^{n+1}+15n+14}{9}$$$$\phantom{A(n+1)}=\frac{4^{n+1}+\overbrace{60n-45n}^{=15n}+\overbrace{18-4}^{=14}}{9}=\frac{4^{n+1}+60n-4}{9}+\frac{-45n+18}{9}$$$$\phantom{A(n+1)}=4\cdot\frac{4^n+15n-1}{9}+\frac{9\cdot(-5n+2)}{9}$$Jetzt setzen wir für den ersten Bruch die Induktionsvoraussetzung ein und kürzen im zweiten Bruch die \(9\) heraus:$$A(n+1)=4\cdot z-5n+2\in\mathbb Z\quad\checkmark$$Da \(z\in\mathbb Z\) und \(n\in\mathbb N\) gilt, ist tatsächlich auch \(A(n+1)\in\mathbb Z\) eine ganze Zahl.

Wiederholen wir den Induktionsschritt unendlich oft, gilt die Behauptung für alle \(n\in\mathbb N\).

Avatar von 152 k 🚀

Oh danke, du bist mein Lebensretter. Ich hab den Anfang einfach nicht hin bekommen, aber so wie du es geschrieben hast, kann ich es super nachvollziehen. Vielen vielen Dank

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