Vollständige Induktion i=1 bis n: 1/(i*(i+1))=n/(n+1)

Question

Aufgabe: Vollständige Induktion - Induktionsschritt

Problem/Ansatz:

Ich stecke bei einer vollständigen Induktion beim Induktionsschritt fest:

Summe von i=1 bis n: 1/(i*(i+1))=n/(n+1)

Induktionsanfang sowie Voraussetzung habe ich bereits.

Induktionsschritt:

Summe von i=1 bis n+1: 1/i*(i+1)=n/(n+1)

Ich kann zwar auf der linken Seite den Summanden herausziehen, jedoch komme ich dann leider nicht weiter.

Ich scheine irgendwie auf dem Schlauch zu stehen.

Für Hilfe wäre ich äußerst dankbar.

Answer 1

Aloha :)

$$\text{Behauptung:}\quad S_n\coloneqq\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{i(i+1)}=\frac{n}{n+1}$$

$$\text{Verankerung bei }n=1:\quad S_1=\sum\limits_{i=1}^{1}\frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{1\cdot(1+1)}=\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{n+1}\quad\checkmark$$

$$\text{Induktionsschritt }n\to n+1:$$$$S_{n+1}=\sum\limits_{i=1}^{n+1}\frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{i(i+1)}\stackrel{(\text{Ind.Vor.})}{=}\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{n}{n+1}$$$$\phantom{S_{n+1}}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{1+n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{1+2n+n^2}{(n+1)(n+2)}$$$$\phantom{S_{n+1}}=\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}=\frac{(n+1)}{(n+1)+1}\quad\checkmark$$

Comments

Vielen Dank.

Ich hatte sehr viele Aufgaben zur vollständigen Induktion gelöst, als Übung, bin aber bei dieser steckengeblieben.

Wenn meine Klausuren vorbei sind, werde ich mich ausführlich mit Latex beschäftigen:) Dann kann ich hier auch normal posten (das ist sonst immer ein Krampf und ein wenig kryptisch sieht es auch immer aus).

Answer 2

Gib alles an, was Du schon hast, dann kann man leichter helfen.