Mit \(p\) ist sicher eine Primzahl gemeint.
Sei nun \(L/F_p\) eine algebraische Erweiterung.
Ich will zeigen, dass jedes Element von \(L\) separabel ist
über \(F_p\), dann ist \(L\) separabel über \(F_p\)..
Sei also \(\alpha\in L\). Dann ist \(F_p(\alpha)\) eine endliche Erweiterung
von \(F_p\). Diese habe \(q=p^n\) Elemente.
Da \(F_p(\alpha)^*\) eine Gruppe der Ordnung \(q-1\) ist,
sind alle Elemente von \(F_p(\alpha)\) Nullstellen des Polynoms
\(f=X^q-X\). Da diese Nullstellen alle verschieden sind,
ist \(f\) ein separables Polynom. Also ist jedes Element
von \(F_p(\alpha)\) separabel über \(F_p\).
Insgesamt folgt also, dass \(L\) separabel über \(F_p\) ist.
Die Aussage der Aufgabe trifft also zu.
