wann soll/kann ich die Abschätzung verwenden ?
Soll/Kann? Eine Abschätzung ist fallspezifisch, ggf. ist eine Abschätzung für eine Reihe auch gar nicht möglich. "Die" Abschätzung hier hat für diese Reihe gut funktioniert.
und wann soll ich die kriterien verwenden ?
Unterschiedlich. Für manche Reihen funktioniert z.B. das Quotientenkriterium, für manche (wie hier) liefert es keine Aussage.
Es gibt ja auch noch das Minorantenkriterium, welches hier (implizit) angewendet wurde zum Zeigen der Divergenz.
Dann gibt es auch noch (wie in der Antwort von Tschakabumba) die Möglichkeit Divergenz nachzuweisen, indem man zeigt, dass die Summanden der Summe keine Nullfolge bilden.
Zum Zeigen der Konvergenz könnte z.B. das Majorantenkriterium anwendbar sein.
Welches (und ob sich ein) Kriterium anwenden lässt musst du prüfen, im Grunde genommen ist immer "rumprobieren" dabei.
und wenn ich nur den Grenzwert findnen soll, (nur lim (a_n)) kann ich die kriterien von Reihen benutzen ?
Hast du den Grenzwert einer Reihe gefunden, so konvergiert die Reihe logischerweise auch, das Finden eines Grenzwertes ist also mindestens soviel Aufwand wie der Beweis der Konvergenz, oftmals weitaus schwieriger.
Die gängigen Kriterien zum Konvergenzbeweis dienen eigentlich auch nur zum Konvergenzbeweis (oder Gegenbeweis) und liefern nicht unmittelbar den konkreten Grenzwert (falls existent).
Für manche Reihen, wie z.B. geometrische Reihen lässt sich im Falle der Konvergenz der Grenzwert aber unmittelbar berechnen.
Es hängt also wieder von der konkreten Reihe ab.
