Reihe auf Konvergenz prüfen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz

\( \sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{n}{n+200}} \)

Problem/Ansatz:

ich moeche meine loesung pruefen.

ich habe = 1 bekommen. und ich habe das Quotientenkriterium verwendet,

was soll ich jetzt sagen? nur es gibt kein Ergebnis und die Reihe konvergiert nicht?

Answer 1

Das Ergebnis bei Verwendung des Quotientenkriteriums liefert dir keine verwertbare Aussage, du musst also die Konvergenz bzw. Divergenz anderweitig feststellen.

Das geht hier durch einfache Abschätzung sehr gut:

\(\sum\limits_{n=2}^{k} \frac{n}{n+200} \overset{n\geq 1}{\geq} \sum\limits_{n=2}^{k} \frac{n}{n+200n} = \sum\limits_{n=2}^k \frac{n}{201n} = \sum\limits_{n=2}^k \frac{1}{201} = (k-1) \cdot \frac{1}{201} \xrightarrow{k\to \infty} \infty\)

Offenbar divergiert die Reihe.

Comments

danke!

wann soll/kann ich die Abschätzung verwenden ?

und wann soll ich die kriterien verwenden ?

und wenn ich nur den Grenzwert findnen soll, (nur lim (a_n)) kann ich die kriterien von Reihen benutzen ?

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wann soll/kann ich die Abschätzung verwenden ?

Soll/Kann? Eine Abschätzung ist fallspezifisch, ggf. ist eine Abschätzung für eine Reihe auch gar nicht möglich. "Die" Abschätzung hier hat für diese Reihe gut funktioniert.

und wann soll ich die kriterien verwenden ?

Unterschiedlich. Für manche Reihen funktioniert z.B. das Quotientenkriterium, für manche (wie hier) liefert es keine Aussage.

Es gibt ja auch noch das Minorantenkriterium, welches hier (implizit) angewendet wurde zum Zeigen der Divergenz.

Dann gibt es auch noch (wie in der Antwort von Tschakabumba) die Möglichkeit Divergenz nachzuweisen, indem man zeigt, dass die Summanden der Summe keine Nullfolge bilden.

Zum Zeigen der Konvergenz könnte z.B. das Majorantenkriterium anwendbar sein.

Welches (und ob sich ein) Kriterium anwenden lässt musst du prüfen, im Grunde genommen ist immer "rumprobieren" dabei.

und wenn ich nur den Grenzwert findnen soll, (nur lim (a_n)) kann ich die kriterien von Reihen benutzen ?

Hast du den Grenzwert einer Reihe gefunden, so konvergiert die Reihe logischerweise auch, das Finden eines Grenzwertes ist also mindestens soviel Aufwand wie der Beweis der Konvergenz, oftmals weitaus schwieriger.

Die gängigen Kriterien zum Konvergenzbeweis dienen eigentlich auch nur zum Konvergenzbeweis (oder Gegenbeweis) und liefern nicht unmittelbar den konkreten Grenzwert (falls existent).

Für manche Reihen, wie z.B. geometrische Reihen lässt sich im Falle der Konvergenz der Grenzwert aber unmittelbar berechnen.

Es hängt also wieder von der konkreten Reihe ab.

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danke für die ausführliche erklärung!

Answer 2

Aloha :)

$$\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{n}{n+200}=\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{n+200-200}{n+200}=\sum\limits_{n=2}^\infty\left(\frac{n+200}{n+200}-\frac{200}{n+200}\right)=\sum\limits_{n=2}^\infty\left(1-\frac{200}{200+n}\right)$$Die Summanden bilden keine Nullfolge, weil der Bruch gegen \(0\) konvergiert und die Summanden daher gegen \(1\) tendieren. Daher divergiert die Summe.

Answer 3

n/(n+200) = (n+200-200)/(n+200) = 1- 200/(n+200)

-> Summe divergiert