Bestimmen Sie den Grad der Erweiterung Q( √{7+√{3}} )/Q.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Grad der Erweiterung Q(\( \sqrt{7+\sqrt{3}} \))/Q.

Ich habe schwierigkeiten auf das Polynom des Zerfällungskörper zu kommen und weiß nicht wie ich den Grad angeben soll, kann jemand helfen?

Comments

$$ x = \sqrt{7 + \sqrt{3}} \implies x^2 = 7 + \sqrt{3} \\\implies x^2 - 7 = \sqrt{3} \implies (x^2-7)^2 = 3 \\\implies x^4 -14x^2 + 46 = 0 $$

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über diese frage hatte ich mir auch scho eonal den Kopf zerbrochen, danke für den Tipp

Answer 1

Zu der Lösung von MatHaeMatician möchte ich noch anmerken,

dass \(f=X^4-14X^2+46\) über \(\mathbb{Q}\) irreduzibel ist:

Eisenstein mit \(p=2\). Daher ist \(f\) das Minimalpolynom von \(x\).