Untersuchen einer ganzrationalen Funktionenschar

Question

Aufgabe:

Aufgabe 5: Untersuchen einer ganzrationalen Funktionsschar
Gegeben ist die ganzrationale Funktionenschar fk durch fk(x) = 3x^2-3/k•x^3 mit ke R\{0}.
a. Zeichnen Sie f und f-1 in ein Koordinatensystem und zeigen Sie, dass der Graph von fk allgemein
durch Spiegelung an der y- Achse aus dem Graphen von f-k hervorgeht.
b. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionenschar in Abhängigkeit von k.
c. Der Graph der Funktion fk schließt für k > 0im ersten Quadranten im Intervall [0,k] 
eine Fläche mit der
X-Achse ein. Für welches k ist dieser Flächeninhalt genau 2 FE groß?

Problem/Ansatz:

Verstehe nicht wie ich das berechnen sollte.

Answer 1

a) Spiegelung an der y- Achse: Ersetze x durch -x. Dann passt es in der Tat.

b) es ergibt sich 0 und k.

c) \(   \int \limits_0^k f_k(x) dx = [x^3 - \frac{3}{4k}x^4]_0^k = \frac{k^3}{4}  \)

Damit das den 2 ergibt, muss k=2 sein.

Answer 2

und zeigen Sie, dass der Graph von fk allgemein durch Spiegelung an der y- Achse aus dem Graphen von f-k hervorgeht.

Du sollst rechnerisch zeigen, dass:

f-k(-x) = 3·(-x)^2 - 3/(-k)·(-x)^3 = 3·x^2 - 3/k·x^3 = fk(x)

Eine Wertetabelle machen und den Graphen zeichnen solltest du hinbekommen oder?

Answer 3

f_k(x) = 3\( x^{2} \) -\( \frac{3}{k} \) •\( x^{3} \) 

b. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionenschar in Abhängigkeit von k.

3\( x^{2} \) -\( \frac{3}{k} \) •\( x^{3} \)=0

\( x^{2} \)*(3-\( \frac{3}{k} \) •x)=0

x₁,x₂=0  doppelte Nullstelle

 3-\( \frac{3}{k} \) •x=0

\( \frac{1}{k} \) •x=1

x₃=k