Aufgabe:
Nullstellen und Integrale von FunktionenscharenGegeben ist die Funktionenschar f.(x) =-x^3+3tx^2; (te R*).b. Der Graph von f[t]schließt mit der x-Achse im Intervall von [0; 3t] eine Fläche ein. Bestimmen Siesodass der Inhalt der Fläche 108 Flächeneinheiten beträgt.
Problem/Ansatz:
Versteh nicht wie ich das berechnen soll.
0 und 3t sind die einzigen Nullstellen, also löse die Gleichung
\( | \int \limits_0^{3t} f_t(x) dx | = 108 \)
Ich bekomme 27t^4 / 4 = 108 <=> 27t^4 = 432 <=> t^4 = 16
Also t= 2 oder -2.
Wie kommen sie aber auf 27t^4 dann?
Eine Stammfunktion ist F(x)=t*x^3 - x^4/4
Und dann F(3t) - F(0)= 27t^4 /4
Und dann 27t4 / 4 = 108 | *4
27t^4 = 432
f(x) =-\( x^{3} \) +3t\( x^{2} \)
-\( x^{3} \) +3t\( x^{2} \)=0
Nun weiter wie bei:
https://www.mathelounge.de/916625/untersuchen-einer-ganzrationalen-funktionenschar?show=916634#a916634
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