Nullstellen und Integral einer Funktionenschar (Hilfsmittelfreie Abituraufgabe)

Question

Aufgabe:

Für jedes a ist eine Funktion fa gegeben durch die Gleichung

fa(x)=6*x^2-12*a*x

(1) Weisen Sie nach, dass x1=0 und x2=2*a die einzigen Nullstellen von fa sind.

(2) Bestimmen Sie den Wert von a, für den gilt Integral in den Grenzen von 0 und 2*a

fa(x)dx=64

Problem/Ansatz:

Wie löse ich die Aufgaben?

Answer 1

setze \(f_a=0\) und löse auf:$$6x^2-12ax=0$$$$\Leftrightarrow 6x(x-2a) \Rightarrow x_1=0 \, \vee \, x_2=2a$$ Weiterhin gilt \(F_a(x)=\int_{}^{}f_a(x)\, dx=2x^2\left(x-3a\right)\), also $$\int_{0}^{2a}f_a(x)\, dx=F_a(2a)-F_a(0)=2\cdot (2a)^2(2a-3a)=8a^2(-a)=-8a^3$$ Für welches \(a\) ist \(-8a^3=64\)?

Comments

Obwohl \(a^3=-8\) die Lösung \(-2\) hat, da \(-2(-2)(-2)=-8\), komme nicht ins Verlangen \(\sqrt[3]{-8}=-2\) zu definieren. Das spricht gegen die Wohldefiniertheit von Potenzen, denn:

2/6=1/3  aber -8^(2/6)=64^(1/6)=2

Answer 2

(1)

fa(x) = 6·x^2 - 12·a·x

Einfach hier die gegebenen Nullstellen einsetzen.

fa(0) = 6·0^2 - 12·a·0 = 0

fa(2·a) = 6·(2·a)^2 - 12·a·(2·a) = 24·a^2 - 24·a^2 = 0

Da eine quadratische Funktion nur 2 Nullstellen haben kann müssen das alle sein.

(2)

fa(x) = 6·x^2 - 12·a·x

Fa(x) = 2·x^3 - 6·a·x^2

∫ (0 bis 2·a) fa(x) dx = Fa(2·a) - Fa(0) = (2·(2·a)^3 - 6·a·(2·a)^2) - (2·0^3 - 6·a·0^2) = 16·a^3 - 24·a^3 = -8·a^3 = 64 --> a = -2

Answer 3

Aloha :)

Gegeben ist: \(f_a(x)=6x^2-12ax\)

Du erkennst, dass man beide Summanden durch \(6x\) dividieren kann, also kann man \(6x\) ausklammern:$$f_a(x)=6x\cdot(x-2a)$$Ein Produkt ist genau dann gleich \(0\), wenn einer seiner Faktoren \(0\) ist. Daher sind die Nullstellen:$$x_1=0\quad;\quad x_2=2a$$Das beschriebene Integral rechnest du am einfachsten mit der Originaldarstellung vom \(f_a(x)\) aus. Wichtig dabei ist, dass du beim Integrieren den Parameter \(a\) wie eine konstante Zahl behandelst:$$I=\int\limits_0^{2a}\left(6x^2-12ax\right)\,dx=\left[2x^3-6ax^2\right]_0^{2a}=2\cdot8a^3-6a\cdot4a^2=16a^3-24a^3=-8a^3$$Das soll laut Aufgabenstellung gleich \(64\) sein, also passt \(a=-2\).