Zeigen Sie, dass G mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass G mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe ist.

Problem/Ansatz:

Wir betrachten die (2 * 2)-Matrix J und die Menge G:

   J :=     0    0.5，                G:= { A ist (2 * 2)-Matrix: A^TJA=J }

              0.5   0

Zeigen Sie, dass G mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe ist.

Tipp: (A^T)^-1 = (A^-1)^T

*PS A^T bedeutet die transponierte Matrix von A

Ich habe versucht, ATJA direkt zu berechnen. Das Ergebnis ist am Ende zu kompliziert. Ich habe dann keine Idee, wie ich diese Aufgabe beweise. Die Kriterien fuer Gruppe kenne ich gut. Wie ich die Kriterien hier anwenden , weiss ich nicht.

Answer 1

0. Alle Elemente von \(G\) liegen in \(GL(2,R)\);

denn \(\det(A^T)\det(J)\det(A)=\det(J)\neq 0\)

Wir müssen also nur Untergruppeneigenschaften prüfen.

1. \(E_2\), die 2x2-Einheitsmatrix liegt in \(G\), d.h.

\(G\) enthält das neutrale Element.

2. Abgeschlossenheit: Seien \(A,B\in G\). Dann gilt:

\((AB)^TJ(AB)=(B^TA^T)J(AB)=B^T(A^TJA)B=B^TJB=J\),

also \(AB\in G\)

3. Sei \(A\in G\). Versuche nun du zu zeigen, dass \(A^{-1}\in G\) ist.

Verwende dazu den angegebenen Tipp.