Aloha :)
Wir wählen die Bezeichnungen der Rechteck-Seiten \(a\) und \(b\) so, dass die Halbkreise an die Seiten mit der Länge \(a\) angebracht werden. Dann ist deren Radius \(r=\frac a2\).
Die Situation gibt uns die Rahmenbedingung \(a\cdot b=7\) vor, unter der die Länge \(L\) der Laufbahn minimiert werden soll. Diese Länge entspricht dem Umfang von 2 Halbkreisen mit Radius \(r=\frac a2\) bzw. dem Umfang eines ganzen Kreises mit demselben Radius und 2-mal der Seitenlänge \(b\) des Rechtecks:$$L=2\pi\cdot\frac a2+2b=\pi a+2b$$Wegen \(a\cdot b=7\) können wir darin \(b=\frac 7a\) einsetzen:$$L(a)=\pi a+\frac{14}{a}\to\text{Minimum}$$
In den Nullstellen der ersten Ableitung finden wir alle Kandidaten für Extrema:$$L'(a)=\pi-\frac{14}{a^2}\stackrel!=0\quad\implies\quad a=\sqrt{\frac{14}{\pi}}$$Wir prüfen noch kurz den Kandidaten durch Einsetzen in die zweite Ableitung:$$L''(a)=\frac{28}{a^3}>0\implies\text{Minimum}\quad\checkmark$$
Die minimale Länge der Laufbahn beträgt daher:$$L_{\text{min}}=L\left(\sqrt{\frac{14}{\pi}}\right)=\pi\cdot\sqrt{\frac{14}{\pi}}+\frac{14}{\sqrt{\frac{14}{\pi}}}=2\sqrt{14\pi}=13,26\,\mathrm m$$
