Zeigen Sie: f ist injektiv

Question

Aufgabe:

Eine Relation ~ auf zwei Mengen M,N heißt linkseindeutig falls für a, b ∈ M und c ∈ N aus a~c und
b~c schon a = b folgt.
Sei f : ℤ -> ℝ derart, dass die Relation ~f auf Z × R gegeben durch x~ f y :⇔ y = f(x) linkseindeutig ist. Zeigen Sie: f ist injektiv.

Problem/Ansatz:

Was muss ich hier tun? Kann ich hier ganz normal mit der Definition von der Injektivität arbeiten? Also

∀ x1,x2 ∈ M gilt: f(x1) = f(x2) => x1 = x2 ?

Answer 1

Genau mit ∀ x1,x2 ∈ M gilt: f(x1) = f(x2) => x1 = x2 

Seine also x1,x2 ∈ ℤ (Das ist ja hier das M.)

mit f(x1)=f(x^2). Es gibt also ein c∈ℝ mit   f(x1) = c und   f(x2)=c

     ==>            x1 ~_f c und x2 ~_f c

Wegen der Linkseindeutigkeit also x1 = x2.  q.e.d.