Zeigen, dass etwas ein Isomorphismus ist

Question

Aufgabe

Zeigen, dass etwas ein Isomorphismus ist

Problem/Ansatz:

Geg. sei die Matrix Ax

0,5x	-0,5x
-0,5x	0,5x

und x E R.

Die abelsche Gruppe ist {Ax | x != 0} und * die Verknüpfung, die der Matrixmultiplikation entspricht.

Zeigen Sie:
(G,*) ist isormoph zur multiplikativen Gruppe R ohne 0.

Ich scheitere schon dran, dass normale Homomorhiekriterium anzuwenden.
Was hat Multiplikation mit reellen Zahlen mit Matrizenmultiplikation zu tun oder verstehe ich was Falsch? Und wie soll ich dann die Bijektivität zeigen?

Comments

Hallo

Esist ja (Ax)*(Ay)= xyA^2, nach den Rechenregeln für Matrizenmultiplikation. Berechne mal A^2

Answer 1

Wohl so:   G={A_x | x ≠ 0} und * die Verknüpfung, die der Matrixmultiplikation entspricht.

Dann sollst du einen Isomorphismus f: R\{0}→G angeben.

Da bietet sich wohl an: f(x)= A_x .

Wegen der Einschränkung x≠0 in der Def. von G ist schon mal klar,

dass das eine Abbildung von R\{0} nach G ist.

Homomorphismus ist es auch, denn

f(x)*f(y)= \( \begin{pmatrix} 0,5x & -0,5x \\ -0,5x & 0,5x \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0,5y & -0,5y \\ -0,5y & 0,5y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,5xy & -0,5xy \\ -0,5xy & 0,5xy \end{pmatrix}\)=f(x*y)

Fehlt noch "bijektiv".

Injektiv so: Seien x,y ∈ℝ\{0} mit f(x)=f(y)

==>      \( \begin{pmatrix} 0,5x & -0,5x \\ -0,5x & 0,5x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,5y & -0,5y \\ -0,5y & 0,5y \end{pmatrix}\)

surjektiv:  Sei A_x ∈ G. Dann gibt es nach Def. von G ein x≠0 mit f(x)=A_x .

Also f auch surjektiv.

Also insbesondere 0,5x = 0,5y ==>   x=y . Also f injektiv.