Zeigen Sie: Sei g ∈ GLn(K). Dann ist lg ein Isomorphismus mit l−1g = lg^−1

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Sei g ∈ GL_n(K). Dann ist l_g ein Isomorphismus mit l⁻¹g = l_g^−1 .

Problem/Ansatz:

Meine Idee war es erstmal die Isomorphie zu zeigen, also zuerst, dass l_g und l_g^-1 linear sind:
Sei a, a' ∈ K und x, x' ∈ Kⁿ
l_g(x) = xg und l_g^-1(x) = x/g

l_g(ax+a'x') = al_g(x) + a'l_g(x') = agx + a'gx' = g(ax+a'x')
l_g^-1(ax+a'x') = al_g^-1(x) + a'l_g^-1(x') = ax/g + a'x'/g = g^-1(ax+a'x')

Nun zeigt man die Gleichung:

l_g^-1(x) = x/g = x * 1/g = x * g^-1
l_g^-1(x) = g^-1 *x = x * g^-1

Passt das so oder muss man hier noch etwas bezüglich des Isomorphismus beachten?

Answer 1

Bei dem Nachweis des Isomorphismus hast du eigentlich nur

für einen Homomorphismus argumentiert.

Da müsste z.B. noch dazu Kern(l_g)={0}. Was aber nicht so wild ist;

denn  l_g(x)=0 <=>   g*x=0  und weil g regulär ist, gibt es g^-1 und du hast:

                     g^-1*g*x= g^-1*0 = 0

                     <=>  E*x = 0   <=>    x=0

Und mir würde die Schreibweise mit der Division durch eine

Matrix nicht gefallen; denn das ist ja eigentlich nicht definiert.

Für l^-1_g = l_g^(-1) würde ich eher so argumentieren:

l_g : K^n → K^n mit l_g(x)=g*x für alle x∈K^n .

Sei nun also x∈K^n und l_g(x)=y , also g*x = y und dann

wieder mit der inversen Matrix      g^-1*g*x= g^-1*y

                                      <=>   E*x = g^-1*y

                                      <=>  x = l_g^(-1)*y

Comments

Ich habe da noch eine Frage, nämlich bei l^-1_g = l_g^(-1):

Wo genau hast du l^-1_g definiert?

Sei nun also x∈Kn und lg(x)=y , also g*x = y

hier?

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l^-1_g ist die Umkehrabbildung von l_g .

Also ist es die Abbildung, die jedem y=g*x

wieder das x zuordnet.