Hallo :-)
Mache für \(f(x):=\sin(x)\) eine Taylorapproximation bis zum Grad 2, um den Entwicklungspunkt \(x_0=\frac{\pi}{2}\), also
$$ T_2(x;x_0):=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+\frac{1}{2}\cdot f''(x_0)\cdot (x-x_0)^2 $$
und löse damit anschließend die Originalgleichung \(\frac{2}{3}\cdot x=\sin(x)\) mit der ,,Näherungsgleichung" \(\frac{2}{3}\cdot x=T_2(x;x_0)\).
Der Sinn dieser Aufgabe wird wohl sein, dass du siehst, dass die Gleichung \(\frac{2}{3}\cdot x=\sin(x)\) nicht elementar lösbar ist, sondern die Lösungen (wenn es denn welche gibt) nur noch näherungsweise angegeben werden können. Ein möglicher Lösungsweg ist zb die Taylorapproximation auf bestimmte Funktionsterme anzuwenden. Dabei bietet sich eine quadratische Näherung an, weil sich quadratische Gleichungen am Ende immernoch ganz einfach lösen lassen. Bei Polynomausdrücken dritten und vierten Grades (sehen hässlich aus) gibt es zwar auch noch allgemeine Lösungsformeln, aber darüber hast du in der Regel keine Chance mehr Lösungsformeln zu finden.
