Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie mehr als einen Ballon verfehlt?

Question

Hallo Leute,

ich komme bei einer Aufgabe gar nicht klar bitte kann mir jemand helfen? Ich bedanke mich schon mal im voraus!

Aufgabe: An einem Stand darf man fünf Dartpfeile auf fünf Luftballons abgegeben. Anna hat eine Trefferwahrscheinlichkeit von 80% pro Schuss. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie mehr als einen Ballon verfehlt?

Es gibt zwei Möglichkeiten die Berechnung durchzuführen. Erkläre die beiden Möglichkeiten. Welche Vorteile haben sie jeweils?

Answer 1

An einem Stand darf man fünf Dartpfeile auf fünf Luftballons abgegeben. Anna hat eine Trefferwahrscheinlichkeit von 80% pro Schuss. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie mehr als einen Ballon verfehlt?

Du rechnest mit der Binomialverteilung

Wenn sie mehr als einen Ballon verfehlt, dann trift sie 0, 1, 2, 3 oder 4 mal

Wenn die Zufallsgröße X also die Anzahl der Treffer beschreibt kann man rechnen

a)

P(X <= 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)

Hier ist tatsächlich schon an der Rechnung zu erkennen welche Möglichkeiten dazuzählen, Leider ist die Rechnung sehr umständlich

b)

Es geht aber auch über die Gegenwahrscheinlichkeit.

P(X <= 4) = 1 - P(X = 5)

Hier kann man zwar nicht direkt erkennen welche Pfade jetzt alle dazuzählen aber dafür ist die Rechnung sehr leicht und einfach.

Answer 2

P(X>1) = 1-P(X=0) -P(X=1) = 1- 0,8^5 - 5*0,2*0,8^4 = 0,2627

oder:

P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

n=5, p=0,2