Bestimmen sie die ganzen Zahlen a,b und c für die gilt: ƒ (x)= a x² + b x + c

Question

Aufgabe:

Es sei ƒ eine Quadratische Funktion, deren Graphiklinie eine Parabel darstellt. Dabei liegt der Scheitel der Parabel bei  xs=8. Ferner gilt   ƒ(10)=  0  und  ƒ'(0)= -128

Bestimmen sie die ganzen Zahlen a,b und c für die gilt: ƒ (x)= a x² + b x + c

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$f(x)=ax^2+bx+c\quad;\quad f'(x)=2ax+b$$

Wegen \(f'(0)=-128\) ist \(b=-128\).

Der Scheitelpunkt bei \(x_s=8\) ist ein Extremum, daher ist \(f'(8)=0\). Daraus folgt:$$0=f'(8)=2a\cdot8-128=16a-128\implies a=8$$

Schließlich ist \(f(10)=0\), sodass:$$0=f(10)=8\cdot10^2-128\cdot10+c\implies c=480$$

Damit haben wir die Gesuchte gefunden:$$f(x)=8x^2-128x+480$$

~plot~ 8x^2-128x+480 ; {10|0} ; {8|-32} ; [[-5|20|-50|1000]] ~plot~

Answer 2

Hallo,

\(f(x)=ax^2+bx+c\\ f'(x)=2ax+b\)

deren Graphiklinie eine Parabel darstellt. Dabei liegt der Scheitel der Parabel bei xs=8.

Diese Information liefert \(f'(8)=0\)

Ferner gilt ƒ(10)=  0  und ƒ'(0)= -128

Daraus kannst du die 2. und 3. Gleichung bilden, die du brauchst.

Weißt du, wie du vorgehen musst?

Gruß, Silvia

Answer 3

ƒ (x)= a x² + b x + c

==>   ƒ ' (x)= 2a x + b ==> f ' (0) = b

also b=-128  und    ƒ ' (x)= 2a x -128

Beim Scheitel gilt f ' (x) = 0 , also f ' (8)=0

                     ==>    0 =  2a * 8 - 128

                      ==>   a = 8

ƒ (x)= 8x² -128 x + c

mit f(10)=0 bekommst du das c=480.

Answer 4

Dabei liegt der Scheitel der Parabel bei xs=8. Ferner gilt ƒ(10)=  0  und ƒ'(0)= -128

Da die Nullstellen (falls es zwei gibt) symmetrisch zur x-Koordinate des Scheitelpunkts liegen, muss außer x=10 auch x=6 eine Nullstelle sein.

Alle quadratischen Funktionen mit dieser Eiugenschaft haben die Form f(x)=a*(x-10)*(x-6) bzw.

f(x)=a*(x^2-16x+60))

mit f'(0)=-16a.

Wegen f'(0)=-128 folgt daraus ...

Answer 5

Es sei ƒ eine quadratische Funktion, deren Graph eine Parabel darstellt. Dabei liegt der Scheitel der Parabel bei x_s=8. Ferner gilt ƒ(10)=  0  und ƒ'(0)= -128

Scheitel bei  x_s=8  und Nullstelle bei x=10 bedeutet, dass bei x=6 auch eine Nullstelle liegt. Somit bietet sich die Nullstellenform der quadratischen Parabel an:

f(x)=a*(x-10)*(x-6)=a*(x^2-16x+60)

f´(x)=a*(2x-16)

f´(0)=a*(2*0-16)=-16a

-16a=-128       a=8

f(x)=8*(x^2-16x+60)=8x^2-128x+480

Somit a=8; b=-128 und c=480

Comments

Verwundert:

Du schreibst hier als "Zitat":

Scheitel bei xs=8  und Nullstelle bei x=10 bedeutet, dass bei x=6 auch eine Nullstelle liegt. Somit bietet sich die Nullstellenform der quadratischen Parabel an:

Diese Textpassage findet sich in KEINEM der bisherigen Beiträge. Das ist nicht seriös.

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Hätte ich deine Antwort schon vor meinem Schreiben gesehen, wäre mir Arbeit erspart geblieben.

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Ich habe mich nicht darüber mokiert, dass meine Antwort noch einmal gekommen ist.

Das kann bei nahezu zeitgleicher Arbeit passieren.

Mir ging es um ein "frisiertes" Zitat...

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Verstehe ich irgendwie nicht.

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Diese Textpassage findet sich in KEINEM der bisherigen Beiträge. Das ist nicht seriös.

Jetzt habe ich verstanden, was du gemeint hast. Mache ich auch nicht wieder.