Funktionsgleichung in Scheitelpunktform umwandeln. Bsp. y= -2x² + 12x - 15

Question

ich habe ein Problem mit dem umwandeln von Funktionsgleichungen in die Scheitelpunktform. Habe mir mehrere Seiten dazu angeschaut aber überall sind verschiedene Erklärungen :/
Ich sollte diese beiden Funktionsgleichungen in die Scheitelpunktform umwandeln und danach in ein Koordinatensystem eintragen (das kann ich)

a) y= -2x² + 12x - 15

b)  y= 1,5x²-6x+2

Also ich habe schon mal einen Anfang:

a) x² - 6x - 7,5 = 0

b) x² - 4x + 4/3 = 0

Answer 1

a) y= -2x² + 12x - 15    | -2 teilweise ausklammern 

= -2(x^2 - 6x ) - 15        | quadratisch ergänzen mit (-6/2)^2 = 9

= -2(x^2 - 6x + 9 - 9) - 15        | Binom zusammenfassen

= -2((x-3)^2 - 9) -15        |teilweise ausmultplizieren

= -2((x-3)^2 + 18 - 15         | 18-15 = 3

= -2(x-3)^2 + 3 

b)  y= 1,5x²-6x+2

y = 1.5 ( x^2 - 4x) + 2

= 1.5(x^2 - 4x + 4 -4) + 2

= 1.5 ((x-2)^2 - 4) + 2

= 1.5 (x-2)^2 - 6 + 2

= 1.5(x-2)^2 - 4  

Kontrolle: 

~plot~1.5(x-2)^2 - 4 ; 1,5x^2-6x+2; -2(x-3)^2 + 3 ; -2x^2 + 12x - 15 ~plot~

Comments

Könntest du noch schreiben was du jeweils Schritt für Schritt gemacht hast?:)

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Habe es bei 1. ergänzt. Bei 2. genau die gleichen Schritte.

EDIT: georgborn und gute Laune haben das genauer erläutert.

Betrachte auch die Rubrik "ähnliche Fragen": Damit du selbst noch etwas rechnen kannst.

Answer 2

Naja, wenn du quadratische Funktionen machst, dann kennst du ja schon die binomischen Formeln (zumindest in der hessischen Schule kommt das vor den quadratischen Funktionen).

Hier sind vor Allem die ersten beiden interessant:

(a+b)² = a² + 2ab + b²

(a-b)² = a² - 2ab + b²

Den Weg, den ich beim umformen nehme, ist einer, bei dem einem kurzzeitig der Kopf qualmt, der aber ziemlich zügig zum Erfolg führt. Nämlich versuche ich, durch geschickte Addition von 0 und durch ausklammern eine binomische Formel zu bauen. Beispiel:

y = -2x² + 12x - 15

= -2*(x² + -6x - (-7,5))

= -2*(x² - 6x +7,5 )

6x entspricht also 2ab (zweite binomische Formel, rückwärts), hierbei ist a = x und dementsprechend b = 3. also muss rechts b² = 9 stehen. Dies geschieht durch +1,5 - 1,5:

y = -2*(x² - 6x +7,5 +1,5 - 1,5)

= -2*(x² - 6x +9 -1,5)

Das unterstrichene ist eine binomische Formel!

Also:

y = -2*((x-3)² - 1,5)

y = -2*(x-3)² + 3

Na also :) (ich hoffe nur, ich hab jetzt nirgendwo einen Fehler eingebaut xD )

Answer 3

Also ich habe schon mal einen Anfang:

Leider ist dieser aber falsch.

a)
y= -2x² + 12x - 15  | / 2
y / 2 = x² - 6x - 7,5

Die 2.Funktion hat nur die Hälfte des Funktionswert der
ersten Funktion.

Hier meine Umformungen

1. zeigt dir den Term den es umzuformen gilt.
2. -2 wurde ausgeklammert
3. x^2 - 6x gilt es in eine binomische Formel umzuwandeln
  - die quadratische Ergänzung wäre 3^2
  - diese wird einmal addiert und dann subtrahiert . Damit bleibt
  der Term derselbe
4. die beiden letzten Summanden - 3^2 + 7.5 werden zusammengefaßt
5. die -1.5 werden aus der Klammer herausgebracht und müssen dann mit
-2 multiliziert werden
  ( -2 ) * ( x^2 - 6x + 3^2 - 1.5 ) =
  ( -2 ) * ( x^2 - 6x + 3^2 ) - ( -2 ) * 1.5
6. x^2 - 6x + 3^2
    Der Term wird als 2.binomische Formel geschrieben = ( x - 3)^2
Es ergibt sich die gewünschte Scheitelpunktform
f ( x ) = -2 * ( x - 3 )^2 + 3

Der Scheitelpunkt ist bei S ( -3  | 3 )