Funktionsgleichung in Scheitelpunktform umwandeln. Bsp. y= -2x² + 12x - 15

Question

ich habe ein Problem mit dem umwandeln von Funktionsgleichungen in die Scheitelpunktform. Habe mir mehrere Seiten dazu angeschaut aber überall sind verschiedene Erklärungen :/
Ich sollte diese beiden Funktionsgleichungen in die Scheitelpunktform umwandeln und danach in ein Koordinatensystem eintragen (das kann ich)

a) y= -2x² + 12x - 15

b)  y= 1,5x²-6x+2

Also ich habe schon mal einen Anfang:

a) x² - 6x - 7,5 = 0

b) x² - 4x + 4/3 = 0

Comments

Du schreibst: Also ich habe schon mal einen Anfang:

a) x² - 6x - 7,5 = 0
b) x² - 4x + 4/3 = 0

Meine Frage dazu: Wo kommt die 0 her? Da stand doch y!

Answer 1

a) y= -2x² + 12x - 15    | -2 teilweise ausklammern 

= -2(x^2 - 6x ) - 15        | quadratisch ergänzen mit (-6/2)^2 = 9

= -2(x^2 - 6x + 9 - 9) - 15        | Binom zusammenfassen

= -2((x-3)^2 - 9) -15        |teilweise ausmultplizieren

= -2((x-3)^2 + 18 - 15         | 18-15 = 3

= -2(x-3)^2 + 3 

b)  y= 1,5x²-6x+2

y = 1.5 ( x^2 - 4x) + 2

= 1.5(x^2 - 4x + 4 -4) + 2

= 1.5 ((x-2)^2 - 4) + 2

= 1.5 (x-2)^2 - 6 + 2

= 1.5(x-2)^2 - 4  

Kontrolle: 

~plot~1.5(x-2)^2 - 4 ; 1,5x^2-6x+2; -2(x-3)^2 + 3 ; -2x^2 + 12x - 15 ~plot~

Comments

Könntest du noch schreiben was du jeweils Schritt für Schritt gemacht hast?:)

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Habe es bei 1. ergänzt. Bei 2. genau die gleichen Schritte.

EDIT: georgborn und gute Laune haben das genauer erläutert.

Betrachte auch die Rubrik "ähnliche Fragen": Damit du selbst noch etwas rechnen kannst.

Answer 2

Naja, wenn du quadratische Funktionen machst, dann kennst du ja schon die binomischen Formeln (zumindest in der hessischen Schule kommt das vor den quadratischen Funktionen).

Hier sind vor Allem die ersten beiden interessant:

(a+b)² = a² + 2ab + b²

(a-b)² = a² - 2ab + b²

Den Weg, den ich beim umformen nehme, ist einer, bei dem einem kurzzeitig der Kopf qualmt, der aber ziemlich zügig zum Erfolg führt. Nämlich versuche ich, durch geschickte Addition von 0 und durch ausklammern eine binomische Formel zu bauen. Beispiel:

y = -2x² + 12x - 15

= -2*(x² + -6x - (-7,5))

= -2*(x² - 6x +7,5 )

6x entspricht also 2ab (zweite binomische Formel, rückwärts), hierbei ist a = x und dementsprechend b = 3. also muss rechts b² = 9 stehen. Dies geschieht durch +1,5 - 1,5:

y = -2*(x² - 6x +7,5 +1,5 - 1,5)

= -2*(x² - 6x +9 -1,5)

Das unterstrichene ist eine binomische Formel!

Also:

y = -2*((x-3)² - 1,5)

y = -2*(x-3)² + 3

Na also :) (ich hoffe nur, ich hab jetzt nirgendwo einen Fehler eingebaut xD )

Answer 3

Also ich habe schon mal einen Anfang:

Leider ist dieser aber falsch.

a)
y= -2x² + 12x - 15  | / 2
y / 2 = x² - 6x - 7,5

Die 2.Funktion hat nur die Hälfte des Funktionswert der
ersten Funktion.

Hier meine Umformungen

1. zeigt dir den Term den es umzuformen gilt.
2. -2 wurde ausgeklammert
3. x^2 - 6x gilt es in eine binomische Formel umzuwandeln
- die quadratische Ergänzung wäre 3^2
- diese wird einmal addiert und dann subtrahiert . Damit bleibt
der Term derselbe
4. die beiden letzten Summanden - 3^2 + 7.5 werden zusammengefaßt
5. die -1.5 werden aus der Klammer herausgebracht und müssen dann mit
-2 multiliziert werden
( -2 ) * ( x^2 - 6x + 3^2 - 1.5 ) =
( -2 ) * ( x^2 - 6x + 3^2 ) - ( -2 ) * 1.5
6. x^2 - 6x + 3^2
    Der Term wird als 2.binomische Formel geschrieben = ( x - 3)^2
Es ergibt sich die gewünschte Scheitelpunktform
f ( x ) = -2 * ( x - 3 )^2 + 3

Der Scheitelpunkt ist bei S ( 3  | 3 )

Answer 4

a)

\(y= -2x^2 + 12x - 15  |:(-2)\)

\(\frac{y}{-2}= x^2 -6x + 7,5     |-7,5\)

\(\frac{y}{-2}-7,5= x^2 -6x \)    quadratische Ergänzung:

\(\frac{y}{-2}-7,5+(\frac{6}{2})^2= x^2 -6x +(\frac{6}{2})^2\)       2.Binom:

\(\frac{y}{-2}+1,5= (x -\frac{6}{2})^2    |-1,5\)

\(\frac{y}{-2}= (x -3)^2 -1,5  |\cdot (-2)\) 

\(y= -2(x -3)^2 +3  \)

S\((3|3)\)

Comments

Mosere doch nicht immer rum!  Wo ist da eine Identität?

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@AM

Du solltest mal einen Link angeben, wo dieses sogenannte "Duplikat" steht !

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Die Rechnung unterscheidet sich nur unwesentlich von den bisher gegebenen Antworten und bietet daher weder einen neuen Ansatz noch einen Mehrwert.

Wieso muss man die Plattform also noch weiter mit sowas zukleistern?

Wenn du eine Frage beantwortest, die schon beantwortet worden ist, dann bitte nur, wenn du etwas Eigenständiges hinzufügen kannst und nicht, wenn du nur das wiederholst, was andere vor dir schon geschrieben haben.

Quelle: https://www.mathelounge.de/faq#qu64

Ich finde, sowas darf und sollte man einfach mal beherzigen. Sowas wurde doch sicherlich nicht umsonst verfasst.

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Vielleicht solltest du dich mal darüber informieren, was in der deutschen Sprache ein 'Duplikat' ist und diesen Begriff nicht ständig missbrauchen!

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@Wolfgang: Dann informiere dich doch bitte vorher, was das Wort ständig bedeutet, wenn du schon so auf der deutschen Sprache herumreitest.

Es ändert nichts an der Tatsache, dass die Antwort nichts Eigenständiges, was nun einen wesentlichen Mehrwert hat, enthält.

Ansonsten kann man ja nun hingehen und bei jeder anderen Frage eine Antwort kopieren, die Variablennamen ändern und es als eigenständige Antwort verkaufen. Es ist ja kein Duplikat. Ich könnte auch einfach die beiden Seiten der Gleichung tauschen, damit es kein Duplikat ist. Das dürfte aber nicht im Sinne der Plattform sein.

Eigentlich schade, dass eine derartige Kritik jedes Mal ignoriert und von immer denselben Personen auch noch verteidigt wird, anstatt sich wirklich einmal die Frage zu stellen, ob die eigene geschriebene Antwort nun wirklich einen Mehrwert hat und hier einen sinnvollen Platz hat. Warum nutzt man seinen Spaß an der Mathematik nicht sinnvoll und beantwortet dann zumindest noch unbeantwortete Fragen oder Fragen, wo man vielleicht wirklich einen Mehrwert - auch für zukünftige Leser - liefern kann?

Ich meine mich, daran zu erinnern, dass er vor einigen Monaten sogar von Unknown persönlich darauf hingewiesen wurde.

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und nicht, wenn du nur das wiederholst, was andere vor dir schon geschrieben

Offensichtlich hast du auch sprachliche Probleme mit dem Wort 'wiederholen'

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Meiner Meinung nach sollte man tolerant mit ähnlichen Antworten sein.

Diese Antwort ist kein Duplikat und auch nicht identisch zu einer anderen Antwort. Aber durchaus ähnlich zu z.B. der Antwort von Lu.

Es wird nur nicht ausgeklammert, sondern zunächst durch den Leitkoeffizienten geteilt.

Ich weiß nicht, ob es in irgendeinem Bundesland so gelehrt wird, dass man durch den Leitkoeffizienten teilt. Hier in Hamburg wird der Faktor vor dem x^2 einfach ausgeklammert, wie Lu das gemacht hat.

Meiner Meinung sollte man sich aber in Antworten am Niveau des Fragestellers orientieren und Fragen möglichst auch so beantworten, wie sie in der Schule gelehrt werden. Und da sehe ich das eigentliche Problem bei einigen Antworten von Moliets.

Aber grundsätzlich finde ich es gut, dass jeder durchaus eine ähnliche Antwort schreiben kann, denn vielleicht versteht es jemand tatsächlich durch das Teilen wie hier gemacht besser als mit dem Ausklammern.

Daher kann man Antworten, die man persönlich schätzt und auch hilfreich für den Schüler hält, mit einem Daumen versehen. Das wurde ja eingeführt, damit hilfreiche Antworten möglichst oben stehen und weniger hilfreiche weiter unten.

Aus dem Grund habe ich mal der Antwort von Lu einen Daumen gegeben, weil ich sie tatsächlich hier für die beste Antwort halte.

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Es ist zwar traurig, wenn jemand möglichweise keine anderen sozialen Kontakte hat

Ja, das ist in der Tat tragisch (und er ist ja nicht die einzige tragische Figur hier). Ich hoffe, dass, wenn ich mal in diese Lebensphase komme, die gut gemeinten Ratschläge verstehe, die mir klar machen, wie lächerlich man sich hier macht.

Konstruktiver Vorschlag an @Moliets: Ich kenne einen Fall wo ein Ruheständler ein neu produziertes Fachbuch gegengelesen hat, was von beiderseitigem Vorteil war. Du könntest also mal Kontakt zu Autoren aufnehmen. Von Verlagsseite werden Aufgaben in Lehrbüchern sicher nicht nachgerechnet. Das wäre sinnvoll, und schafft auch neue Kontakte.

Selbst Aufgaben rechnen hält sicherlich fit, nur warum die dann hier posten, wo kein Interesse (mehr) ist? Und Du ziehst damit auch andere, mit rein, die reflexartig auf jede Frage, die ganz oben steht, eine vorgerechnete Lösung posten.

Für minimale Abweichungen von gegebenen Antworten gibt es auch Kommentare.

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Ich erinnere daran, dass bis vor Kurzem das Aufarbeiten alter Fragen von mathelounge mit Sonderpunkten honoriert wurde.

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Dann kann doch der, dessen Namen ich nicht nennen möchte, all die unbeantworteten Altfragen beackern.

Unglücklicherweise sind DIESE Altfragen nicht aus der Kategorie der von ihm mit Eifer bespielten Dutzendware.

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Genau, die Sonderpunkte (5) gibt es nur bei bislang unbeantworteten Fragen (die älter als ein Jahr sind), siehe https://www.mathelounge.de/punkte

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Gab es. Das wurde aufgrund der Beantwortung durch KI ja entfernt.