Begründen oder widerlegen Sie

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben seien die \( \mathbb{R} \)-Vektorräume \( \mathbb{R}^{2} \) und \( \mathbb{R}^{3} \) sowie \( \phi, \psi \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}^{2}\right) . \) Sei außerdem \( b_{1}, b_{2}, b_{3} \) eine Basis von \( \mathbb{R}^{3} \). Begründen oder widerlegen Sie:
(a) Es gibt ein \( x \in \mathbb{R}^{3} \backslash\{0\} \), so dass \( \phi(x)=\psi(x) \).
(b) Gilt \( \phi\left(b_{1}\right)=\psi\left(b_{1}\right) \) und \( \phi\left(b_{2}\right)=\psi\left(b_{2}\right) \) und ist \( \phi\left(b_{1}\right), \phi\left(b_{2}\right) \) eine Basis von \( \mathbb{R}^{2} \), so ist \( \phi=\psi \).
(c) Haben sowohl null \( (\phi) \) als auch null \( (\psi) \) die Dimension 2, so gibt es ein \( x \in \mathbb{R}^{3} \backslash\{0\} \) mit \( \phi(x)=\psi(x)=0 \).
(Hinweis zu (a): Denken Sie an die Vektorraumstruktur von \( \left.\mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}^{2}\right) .\right) \)

Comments

Was hast du denn schon?

lul

Answer 1

a) ist wahr. Betrachte die Abbildung \( f:= \phi - \psi \) , die ist auch

in \(  \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}^{2}\right) . \)

Und aus dem Dimensionssatz folgt: dim(Kern(f)) > 0, also

gibt es x≠0 mit f(x)=0 also \( ( \phi - \psi ) (x) = 0 \)

==> \(  \phi(x) - \psi(x)  = 0 \)

==> \(  \phi(x) = \psi(x)  \)

Comments

dim(Kern(f))>0?

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Danke, wird korrigiert.