Ich habe hier einige Aussagen bearbeitet und begründet. So eine Aufgabe wird in der kommenden Klausur drankommen, aber leider wurden keine Lösungen für die Übung bei uns im Tutorium veröffentlicht.. Könnte jemand (natürlich unbegründet) sagen, ob die Aussagen jeweils wahr oder falsch sind? Zur Aufgabe:Entscheiden Sie bei den nachfolgenden Aussagen jeweils , ob diese wahr oder falsch sind und begründen Sie es. Wenn nicht weiter spezifiziert, handelt es sich bei V oder F^n immer um einen F-Vektorraum.
1) Ein lineares Gleichungssystem über \( \mathbb{F} \) in \( n \) Variablen hat höchstens \( n \) Lösungen.
2) Sei \( A \in \mathbb{F}^{n, m} \) und \( b \in \mathbb{F}^{n} . \) Besitzt die Gleichung \( A v=b \) mehr als eine Lösung,
dann auch die Gleichung \( A v=0 . \)
3) \( \mathbb{R}^{2} \) ist ein Unterraum von \( \mathbb{R}^{3} . \)
4) Wenn keiner der Vektoren \( v_{1}, v_{2}, v_{3} \in \mathbb{R}^{3} \) ein skalares Vielfaches eines anderen
ist, dann ist die Liste linear unabhängig.
5) Seien \( V, W \) Vektorräume, \( A \subset V \) eine Teilmenge und \( f \in \mathcal{L}(V, W) . \) Wenn \( A \) kein
Unterraum von \( V \) ist, dann ist auch \( f(A) \) kein Unterraum von \( W . \)
6) Wenn \( w \in V \) eine Linearkombination von \( u, v \in V \) ist, dann ist \( u \) eine
Linearkombination von \( v \) und \( w \).
7) Für \( v_{1}, \ldots, v_{n} \in V \) sei \( \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{n-1}\right)=V \). Dann ist auch
\( \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)=V \)
8)Eine Ebene im \( \mathbb{R}^{3} \) ist ein zwei-dimensionaler Untervektorraum von \( \mathbb{R}^{3} \).
9) Ist \( W \) ein Unterraum von \( V \) und \( v_{1}, \ldots, v_{n} \) eine Basis von \( V \), dann gibt es eine
Teilmenge \( M \subset\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} \) mit \( W=\operatorname{span}(M) \).
10) Seien \( \phi \in \mathcal{L}\left(V_{1}, V_{2}\right) \) und \( \psi \in \mathcal{L}\left(V_{2}, V_{3}\right) \). Wählt man dann Basen \( B_{1}, B_{2} \) und \( B_{3} \)
von \( V_{1}, V_{2} \) und \( V_{3} \), dann ist \( \mathcal{M}\left(\psi \circ \phi, B_{1}, B_{3}\right)=\mathcal{M}\left(\psi, B_{1}, B_{2}\right) \cdot \mathcal{M}\left(\phi, B_{2}, B_{3}\right) \)
11) Ist \( v_{1}, \ldots, v_{n} \in V \) linear unabhängig, dann ist auch \( \lambda v_{1}, \ldots, \lambda v_{n} \in V \) linear unabhängig für alle \( \lambda \in \mathbb{F} \).
12) Sei \( V \) ein Vektorraum mit Untervektorraum \( U \). Dann ist \( V \backslash U(V \) ohne \( U) \) kein Untervektorraum von \( V \).
