Question

Bestimmen Sie die komplexe Zahl

(\( \frac{√3 + i}{1-i} \))^20 + (\( \frac{√3 + i}{1+i} \))^20

Kann mir jemand erklären wie man hier vorgeht? Das Ergebnis kenne ich, ich bräuchte aber eine Erklärung damit ich das auch auf ähnliche Aufgaben anwenden kann :)

Answer 1

\( \sqrt{3}+i \) hat das Argument 30° und den Betrag 2.

1-i hat das Argument -45° und den Betrag \( \sqrt{2}\).

Der erste Quotient hat somit das Argument 30°-(-45°)=75° und den Betrag \( \frac{2}{√2} =√2\)

Die 20. Potenz davon hat das Argument 20*75°=1500°=4*360°+60° (entspricht 60°) und den

Betrag \( \sqrt{2}^{20}=1024\).

Der erste Summand ist somit 1024*(cos 60°+i*sin(60°).

Der zweite Quotient hat das Argument 30°-45°=-15° und das Argument \( \frac{2}{√2} =√2\)
Die 20. Potenz davon hat das Argument 20*(-15°)=-300° (entspricht ebenfalls 60°) und ebenfalls den
Betrag \( \sqrt{2}^{20}=1024\).

Die Gesamtsumme ist somit das Doppelte von 1024*(cos 60°+i*sin(60°)..