Kurvendiskussion - Ableitungen gegeben

Question

Gegeben ist eine Funktion \( f \in C^{2}(\mathbb{R}) \) mit \( f^{\prime}(1)=-1 \) und \( f^{\prime}(-1)=1 \).

Es ist zu entscheiden, welche der folgenden Möglichkeiten richtig sind:

f´´ hat ein Nullstelle: dann müsste gelten, dass f´´(x)=0. Wegen den Werten der ersten Ableitungen schätze ich, dass die ursprüngliche Funktion x war. Die zweite Ableitung ist einfach nur Null uns es gibt keine Nullpunkte.

f hat eine lokale Extremstelle: man müsste f´(x)=0 betrachten, was in beiden Fällen nicht geht.

f ist eine ungerade Funktion: da ich für f(x)=-x annehme, dann würde für die Funktion gelten: f(-x)=x - eine gerade Funktion

f ist eine gerade Funktion

f hat eine Nullstelle: ja, denn y=-x → x=0.

Laut den Lösungen soll aber nur eines richtig sein: dass f eine lokale Extremstelle hat.

Answer 1

Weil \(f'\) stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein x mit

\(f'(x)=0\). Da es Bereiche mit positiver und negativer Steigung gibt,

muss es ein lokales Extremum zwischen -1 und 1 geben.

\(f\) muss weder gerade noch ungerade sein, z.B. \(f(x)=-x^3/3-x^2/2-x\).

\(f\) muss keine Nullstelle besitzen, z.B.

\(f(x)=\frac{2}{1+x^2}\)

Comments

Danke für die Antwort, jetzt verstehe ich es besser.

Woher weiß man, dass die f´(x) stetig ist? Es sind 2 Werte für die Ableitung angegeben.

Danke nochmals!

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\(f\) soll aus \(C^2(R)\) sein, also zweimal stetig diffbar.

Answer 2

f´´ hat ein Nullstelle: ist im allgemeinen nicht richtig. Wähle f(x)= -1/2·x².

f hat eine lokale Extremstelle: ist für stetige Funktionen richtig. Zwischen Steigen und Fallen muss ein Maximum liegen.

f ist eine ungerade Funktion: nicht zwingend (siehe oben)

f ist eine gerade Funktion: nicht zwingend: Wähle f(x)=x³/3-x²/2-x

f hat eine Nullstelle: nicht zwingend: Wähle f(x)=- 1/2·x² - 1