f2 Kriterium mit 2 Variablen

Question

Aufgabe: Untersuchen Sie die Funktion f auf lokale Extremstellen.
Verwenden Sie als hinreichende Bedingung das f2(x) Kriterium.

c) \( \frac{1}{3} \)*a*\( x^{3} \)-\( a^{3} \)*x , a>0

Problem/Ansatz:
f1(x) = a*x^2-a^3

notwendiges Kriterium:

f1(x)=0
a*x^2-a^3=0
x*a(x-a^2)
x1= 0
x2=a^2

F2 Kriterium:
f2(x)=2ax
f2(0)=0 Bedingung nicht erfüllt
f2(a^2)=2a^3 → Tiefpunkt da a>0 ist

Comments

Du hast a·x² - a³ = 0 falsch ausgeklammert. Lösung ist x_1,2 = ±a.

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Oh, stimmt
Ist das dann so richtig:
a*x^2-a^3=0
a*(x^2-a^2)=0

x^2-a^2=0 | +a^2
x^2=a^2 | \( \sqrt{} \)
x1= a
x2= -a

F2 Kriterium:
f2(x)=2ax
f2(a)= 2a^2 >0 → Tiefpunkt
f2(-a)=-2a^2 < 0 -->Hochpunkt

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Das sieht gut aus.

Answer 1

f(x) = 1/3·a·x^3 - a^3·x

f'(x) = a·x^2 - a^3 = a·(x^2 - a^2) = 0 --> x = ±a

f''(x) = 2·a·x

f''(-a) < 0 → HP

f''(a) > 0 → TP

f(-a) = 2/3·a^4 → HP(-a | 2/3·a^4)

f(a) = -2/3·a^4 --> TP(a | -2/3·a^4)

Comments

HP und TP an der Stelle -a ?

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HP und TP an der Stelle -a ?

Danke für den Hinweis. War ein Copy & Paste - Fehler. Hab ich aber gerade korrigiert.