Wie löse ich folgende Ungleichung nach y auf?

Question

\( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1 \)

Wie löse ich folgende Ungleichung nach y auf?

Wichtig sind mir besonders die Rechenschritte.

Answer 1

y^2/b^2 ≤ 1- x^2/a^2
b^2 ist stets kleiner gleich null.
Das Relationszeichen bleibt bei der
nächsten Umformung bestehen.
y^2 ≤ b^2 * ( 1- x^2/a^2 )

Wurzelziehen : der Term in der Wurzel
muß positiv oder 0 sein
Für b^2 * ( 1- x^2/a^2 ) ≥ 0 gilt
y < plus √ ( b^2 * ( 1- x^2/a^2 ) )
und
y > minus √ ( b^2 * ( 1- x^2/a^2 ) )

Comments

b^2 ist stets kleiner gleich null.

Du meinst sicher größer gleich Null. :)
Vorsicht, hjkotzi an Board!

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Jetzt musst du nur noch aus größer und kleiner "größer gleich" und "kleiner gleich" machen, dann stimmt es.

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Fehler
b^2 ist stets kleiner gleich null
sondern
b^2 ist stets größer gleich null

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Danke soweit. Kann ich noch ein b ausklammern und aus der Wurzel herausziehen?

In der Lösung stand:
$$y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$$

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In der Lösung stand:$$y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$$

das ist (fast) identisch mit der Lösung von Georg, wenn man mal über das \(=\) statt dem \(\le\) hinweg sieht. Die Parameter \(a\) und \(b\) sind die Halbachsen der Ellipse und man kann hier davon ausgehen, dass diese immer positiv sind. Folglich lassen sich \(a\) und \(b\) aus dem Wurzelausdruck ausklammern$$\begin{aligned}|y| &\le \sqrt{ b^2 \cdot\left( 1- \frac{x^2}{a^2}\right) } &&|\,\text{(s.o. in der Antwort)}\\ |y| &\le\sqrt{ \frac{b^2}{a^2} \cdot\left( a^2- x^2\right) }\\ |y| &\le\sqrt{ \frac{b^2}{a^2} }\cdot\sqrt{\left( a^2- x^2\right) }\\ |y| &\le \frac{b}{a}\cdot\sqrt{\left( a^2- x^2\right) }\end{aligned}$$... ohne sie zwingend in Betragszeichen zu setzen ;-)

Du solltest Dich nur noch entscheiden, ob im ursprünglichen Term ein \(=\) oder ein \(\le\) gestanden ist.

Answer 2

y^2/b^2 ≤ 1- x^2/a^2

y^2 ≤ b^2 - (x^2*b^2)/a^2

y ≤ ±√ ....

Comments

y ≤ ±√ ....

ist Unfug.

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@Gast hj2166: Bitte unterlasse jegliche Hinweise bei Gast2016. Berechtigte Fehleranmerkung hin oder her...lieber einen Fehler zu viel als diese Unmengen an Treibstoff gegen das Klima.

@Gast2016: Betrachte Dich als verwarnt was Deine Sprachwahl angeht! Wie es in Deinem Haushalt zugeht ist mir egal, aber hier leistet man sich nur mal ausversehen einen verbalen Ausrutscher. Deine ständige Beleidigungstiraden haben aber ab sofort ein Ende!

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@Unkwown:

Ich habe diesen widerlichen hj... mehrfach aufgefordert zu antworten, wie das

auch andere, normale Kollegen tun: Fehler klarstellen und korrigieren.

Sein blödes Herumeiern kann er mit andern machen, nicht mit mir.

Wer keine klaren Ansagen macht, soll gefälligst die Klappe halten.

Da er sich nicht wie ein zivilisierter Mensch verhält, behandle ich ihn nicht

auch solchen. Das Wort Empathie existiert in seinem Wortschatz nicht.

Er ist oder muss ein grauenhafter Lehrer (gewesen) sein und ist als

Mensch für mich undiskutabel.

Der Typ ist nur darauf aus, zu stänkern und bloßzustellen und Häme abzusondern.

Er und abakus vergiften immer wieder das Klima, wie sonst keiner.

Beide glauben die mathem. Weisheit mit dem Löffel gefressen zu haben,

obwohl sie didaktisch bestenfalls dritte Wahl sind.

Das Forum könnte problemlos auf sie verzichten.

Answer 3

\( \frac{y^2}{b^2} \)=1 - \( \frac{x^2}{a^2} \)

y²=b²+\( \frac{x^2b^2}{a^2} \)

Jetzt noch ±√  dann kennst du die Ränder der Lösungsmenge. Jetzt eine Punktprobe.