Doppelreihe auf Konvergenz untersuchen

Question

Gegeben ist die Doppelreihe

\( \sum\limits_{n,k=2}^{\infty}{\frac{\sqrt{n-1} + \sqrt{n}}{n^{k}}} \)

und diese muss ich auf Konvergenz untersuchen.

Wenn ich zeigen kann, dass sie für alle n und k = 2 konvergiert, kann ich dann auf alle anderen k das Majorantenkriterium anwenden, und so zeigen, dass es für jedes k konvergiert? Also sozusagen zeigen, dass alle "Waagrechten" konvergieren?

Oder ist das nicht zielführend?

Danke!

Answer 1

So wie ich das sehe kannst du doch das Quotientenkriterium anwenden:

Du betrachtest die Summe als \( \sum\limits_{n}^{\infty}{\sum\limits_{k=2}^{\infty}{an}} \)

Das Kriterium nach k sähe dann so aus:

((\( \sqrt{n-1} \)+\( \sqrt{n} \)) / \( n^{k+1} \))

* (\( n^k \) /(\( \sqrt{n-1} \)+\( \sqrt{n} \))) =

\(n^{k}\) / \( n^{k+1} \) =

1/n

Für beliebig n > 1 erhält du 1/n < 0,9 < 1.

Die Reihe sollte also konvergieren. Nur für den Fall n = 1 divergiert sie, dass ist aber direkt erkennbar.

Comments

Ich revidiere meine Antwort.

Wir können das Majorantenkriterium anwenden.

Wir haben:

\( \sum\limits_{n}^{\infty}{} \)\( \sum\limits_{k=2}^{\infty}{} \)((\( \sqrt{n-1} \)+\( \sqrt{n} \)) / \( n^{k} \)) /

<

\( \sum\limits_{n}^{\infty}{} \)\( \sum\limits_{k=2}^{\infty}{} \)(2\( \sqrt{n} \) / \( n^{k} \))

=

\( \sum\limits_{n}^{\infty}{} \)\( \sum\limits_{k=2}^{\infty}{} \)(2 / \( n^{k-0,5} \))

<

\( \sum\limits_{n}^{\infty}{} \)\( \sum\limits_{k=2}^{\infty}{} \)(2 / \( 2^{n} \))

(die letzte Abschätzung gilt nur für n = 1 nicht)

Wenden wir das Quotientenkriterium auf die letzte Summe an, erhalten wir 1/2 für beliebig n.

Das heißt die Reihe ist Konvergent. Das muss dann auch für alle Reihen kleiner als diese inklusive \( \sum\limits_{n}^{\infty}{} \)\( \sum\limits_{k=2}^{\infty}{} \)((\( \sqrt{n-1} \)+\( \sqrt{n} \)) / \( n^{k} \)) / gelten.