Konvergenz von Doppelreihe

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

b) Zeigen Sie, dass die Doppelreihe \( \sum \limits_{m, n=1}^{\infty} \frac{1}{m^{\alpha}+n^{\alpha}} \) genau dann konvergiert, wenn \( \alpha>2 \) ist.

Problem/Ansatz:

Meine Problem ist hier wie man hier vorgehen soll. Auf Konvergenz zu untersuchen ist kein Problem, nur steht da Doppelreihe. Muss ich die Doppelreihe sozusagen "auseinanderziehen" und dann erst auf Konvergenz überprüfen und was genau muss ich bei dem α>2  beachten ?

Ein Ansatz wäre super !

Vielen Dank !

Answer 1

Hallo

sieh dir die Reihe mit nur n (oder nur m) an vergleiche sie mit der Doppelreihe und denke an dasMajorantenkriterium.

lul

Comments

Ich habe erstmal die Reihe mit n genommen und α ≤ 2 eingesetzt. Anschließend habe ich mit das MInorantenkriterium gezeigt, dass es divergiert.

Nun habe ich das gleiche gemacht, nur mit α > 2 und mit das Majorantenkriterium gezeigt, dass es konvergiert. Reicht das als Beweis ?

Vielen Dank für deine Antwort!