Vektorenfrage Spitze einer dreiseitigen Pyramide

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte A(1|2|0), B(14|0), C(5|2|2) und S(1|2/4)
1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass durch die Punkte A, B, C ein rechtwinkliges Dreieck
erzeugt wird und dass S die Spitze der Pyramide mit Grundfläche ABC ist.
2. Bestimmen Sie rechnerisch den Vektor, der die Höhe der Pyramide beschreibt und
berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
3. Leiten Sie die Gleichung einer Ebene E her, die parallel zur Grundfläche ABC liegt.

Problem/Ansatz:

Nachweisen des rechten Winkels ist einfach. Den Rest habe ich schon versucht und kam leider kein richtiges Ergebnis raus, kann wer helfen, am besten vorgerechnet zum kompletten Verständnis?

Danke

Answer 1

Für den Vektor, der die Höhe beschreibt, nimmst du einen

Normalenvektor der Ebene ABC als Richtungsvektor einer

Geraden durch S. Diese Gerade schneide mit der Ebene ABC

und erhalte den Schnittpunkt P. PS oder SP wäre dann ein

Vektor, der die Höhe beschreibt.

3. Nimm wieder den Normalenvektor aus 2 und z.B. den Punkt S

und bilde damit die Punkt-Normalen-Form.

Comments

Danke

Zur 2) der Normalenvektor ist (4/0/-8) und dann kann ich die Gerade. s:x= (1/2/4) + r*(4/0/-8) rechnen wie gehe ich aber weiter vor das habe ich noch nicht verstanden

Zur 3) habe den Normalenvektor geholt weiß aber nicht auf was es bei 2 Ebenen drauf ankommt damit sie parallel sind

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s:x= (1/2/4) + r*(4/0/-8) ✓

Schneiden mit der Ebene, die hat ja die Gleichung 4x-8z=4

bzw x -2z = 1.

Also

1+4r -2(4-8r)=1 ==>  r=2/5

Also ist der Schnittpunkt  P(2,6 ; 2 ; 0,8)

Und der Vektor PS = ( -1,6 ; 0 ; 3,2 )

Der hat die Länge 8/√5 .

Und die Dreiecksfläche bekommst du ja aus 1.

(halbes Produkt der Kathetenlängen) und Volumen

der Pyramide also (1/3)*Dreiecksfläche*8/√5 .

und: "weiß aber nicht auf was es bei 2 Ebenen drauf ankommt damit sie parallel sind" Da ist es einfach so:

kollineare Normalvektoren ==> parallele Ebenen.

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Danke

Beispiel Ebene wäre also E: 4x1-8x3 = 5 oder -28 (wenn man S nimmt)?

Kann man rechts irgendeine Zahl einsetzen ? Es darf ja auch keine identische Ebene sein.

Und wie kann man bei der 1 die Spitze rechnerisch nachweisen?

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Kann man rechts irgendeine Zahl einsetzen ? Es darf ja auch keine identische Ebene sein.   ✓

Und wie kann man bei der 1 die Spitze rechnerisch nachweisen? ???

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Danke

Also kann man jede Zahl einsetzen außer das was bei der Ebene für eine Zahl rauskommt glaube 4

Weisen Sie rechnerisch nach, dass durch die Punkte A, B, C ein rechtwinkliges Dreieck
erzeugt wird und dass S die Spitze der Pyramide mit Grundfläche ABC ist.

Ich weiß nicht wie das nachweisen funktionieren soll

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Weisen Sie rechnerisch nach, dass ... S die Spitze der Pyramide mit Grundfläche ABC ist.

Das ist Unsinn. Im Prinzip kann jeder beliebige Punkt im Raum die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche ABC sein.

Du kannst maximal nachweisen, dass die Pyramide nicht schräg ist, d.h. die Projektion \(S'\) von \(S\) auf die Grundfläche - also P(2,6 ; 2 ; 0,8) - sich innerhalb des Dreiecks \(\triangle ABC\) befindet, was der Fall ist!

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Danke

Wie berechnet man nochmal das Volumen, mir fehlt noch die Dreiecksfläche?

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mir fehlt noch die Dreiecksfläche?

Bestimme die beiden Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\). Die Dreiecksfläche \(F_{\triangle}\) ist dann $$F_{\triangle} = \frac12\left|\vec{AB} \times \vec{AC}\right|$$

Bem.: Falls Ihr noch nicht das Kreuzprodukt '\(\times\)' behandelt habt, so mache Dir zu Nutze, dass \(\triangle ABC\) rechtwinklig ist; mit rechtem Winkel bei \(A\). Also ist in diesem speziellen Fall:$$F_{\triangle} = \frac 12 |AB|\cdot |AC|$$zur Kontrolle: \(F_{\triangle} = 2\sqrt 5\).

Answer 2

Gegeben sind die Punkte A(1|2|0), B(1|4|0), C(5|2|2) und S(1|2|4)

1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass durch die Punkte A, B, C ein rechtwinkliges Dreieck erzeugt wird und dass S die Spitze der Pyramide mit Grundfläche ABC ist.

AB = [0,2,0]

AC = [4,0,2]

AB * AC = 0 → Damit bei A ein rechter Winkel

2. Bestimmen Sie rechnerisch den Vektor, der die Höhe der Pyramide beschreibt und berechnen Sie das Volumen der Pyramide.

AB x AC = [4, 0, -8] = 4·[1, 0, -2]

[1, 2, 0] + r·[1, 4, 0] + s·[5, 2, 2] = [1, 2, 4] + t·[1, 0, -2] → t = 18/11

18/11·[1, 0, -2] = [18/11, 0, - 36/11]

3. Leiten Sie die Gleichung einer Ebene E her, die parallel zur Grundfläche ABC liegt.

Die Grundfläche selber hast du ja bereits

Et: X = ([1, 2, 0] + t·[1, 0, -2]) + r·[1, 4, 0] + s·[5, 2, 2]

t ist hier als Parameter einer Ebenenschar zu sehen.

Comments

Super danke

Weisen Sie rechnerisch nach, dass ... S die Spitze der Pyramide mit Grundfläche ABC ist.

Wie meinst du kann man das lösen?