Ist diese Reihe divergent?

Question

Aufgabe:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^{2}}{e^{k-1}} \)

Problem/Ansatz:

ich vermute, dass man hier mit der harmonischen Reihe bzw. dem Majorantenkriterium die Divergenz der Reihe zeigen kann.

Ist das richtig?

Comments

e^(k-1) wächst schneller als k² -> lim = 0 für k -> oo

-1 kannst du vernachlässigen.

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Aus \(\displaystyle\lim_{k\to\infty}\frac{k^2}{\mathrm e^{k-1}}=0\) folgt noch nicht die Konvergenz der Reihe.

Answer 1

Verwende Quotientenkriterium:

a(k+1)/a(k)= (k+1)²*e^(k-1)/(e^k*k²)

(k²+2k+1)/e*k² (Nenner und Zähler durch k² teilen)

(1+2/k+1/k²)/e für k nach unendlich

steht im Zähler 1+0+0=1

Also steht dann im Bruch:

1/e ist kleiner als 1, also konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium.

Answer 2

Majorantenkriterium:$$\sum \frac{k^2}{e^{k-1}}=e\sum \frac{k^2}{e^k}=e\sum \frac{k^2}{1+k+k^2/2+k^3/6+k^4/24+...}\leq\\\leq 24e\sum \frac{1}{k^2}.$$Letztere Reihe ist eine konvergente Majorante.