Skalarprodukt zweier identischer Vektoren

Question

Aufgabe:

Hallo:))

Ist (a+b)² ein skalarprodukt.

Weil unsere Lehrerin meinte, dass (a-b)² irgentwas mit dem skalarprodukt zu tun hat.

a und b sind vektoren

Danke:))

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Beim Skalarprodukt werden zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ miteinander multipliziert, sodass ihr Ergebnis ein Skalar, also eine Zahl ist. Sind zum Beispiel die Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ aus dem Vektorraum $V=\mathbb R^3$ gegeben, so gilt:

$$(\vec a+\vec b)^2=\overbrace{\overbrace{(\vec a+\vec b)}^{\in V}\cdot\overbrace{(\vec a+\vec b)}^{\in V}}^{\in \mathbb R}=\overbrace{\vec a\cdot\vec a}^{\in\mathbb R}+\overbrace{2\cdot\vec a\cdot\vec b}^{\in \mathbb R}+\overbrace{\vec b\cdot\vec b}^{\in\mathbb R}=a^2+2ab\cos\angle(\vec a;\vec b)+b^2$$$$(\vec a-\vec b)^2=\underbrace{\underbrace{(\vec a-\vec b)}_{\in V}\cdot\underbrace{(\vec a-\vec b)}_{\in V}}_{\in\mathbb R}=\underbrace{\vec a\cdot\vec a}_{\in \mathbb R}-\underbrace{2\cdot\vec a\cdot\vec b}_{\in\mathbb R}+\underbrace{\vec b\cdot\vec b}_{\in\mathbb R}=a^2-2ab\cos\angle(\vec a;\vec b)+b^2$$

Die Mal-Zeichen in den Ausdrücken symbolisieren das Standard-Skalar-Produkt aus dem $\mathbb R^3$, weil links und rechts als Argeumente Vektoren stehen. Die Plus-Zeichen sind die Addition aus dem Körper $\mathbb R$.

Comments

Dankee

Und der cosinus ist immer 0 oder?

Weil bei (a+b)², muss man doch rechnen (a+b)*(a+b)*cos0=(a+b)² oder?

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Und wieso ist b○b=b²

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Das Skalar-Produkt von 2 Vektoren ist so definiert:$$\vec a\cdot \vec b=\|\vec a\|\cdot\|\vec b\|\cdot\cos\angle(\vec a;\vec b)$$Das heißt, du multiplizierst die Länge der beiden Vektoren miteinander und dann multiplizierst du das noch mit dem Cosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$.

Wenn die Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ senkrecht aufeinander stehen, ist der Winkel $90^\circ$ und der Cosinus dieses Winkels ist $=0$. Das heißt, das Skalarprodukt von senkrecht zueinander stehenden Vektoren ist immer $=0$.$$\vec a\cdot\vec b=\|\vec a\|\cdot\|\vec b\|\cdot\underbrace{\cos\underbrace{\angle(\vec a;\vec b)}_{=90^\circ}}_{=0}=0$$

Ein Vektor ist immer parallel zu sich selbst, also ist der Winkel $0^\circ$ und der Cosinus dieses Winkels ist $=1$. Das heißt, das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist immer das Quadrat seiner Länge.$$\vec b^2=\underbrace{\|\vec b\|}_{=b}\cdot\underbrace{\|\vec b\|}_{=b}\cdot\underbrace{\cos\underbrace{\angle(\vec b;\vec b)}_{=0^\circ}}_{=1}=b\cdot b=b^2$$

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Danke:))

Das war sehr hilfreich

Answer 2

Ist (a+b)² ein skalarprodukt.

Das kann man zumindest so interpretieren :

Ist (a+b)*(a+b) .

Comments

Ich dachte immer ein skalarprodukt ist nur a Kreis b.

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Da sind viele Zeichen möglich.

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Also ist alles was quadriert ist ein skalarprodukt

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Muss dann cosinus 0 sein

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Weil ich hab ja die Formel a*b*cos

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Jedes Quadrat ist das Produkt aus zwei gleichen Faktoren. Der Winkel zwischen zwei gleichen Vektoren ist natürlich 0°.

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Dankee:))

Sie haben mir sehr weitergeholfen