Skalarprodukt zweier identischer Vektoren

Question

Aufgabe:

Hallo:))

Ist (a+b)² ein skalarprodukt.

Weil unsere Lehrerin meinte, dass (a-b)² irgentwas mit dem skalarprodukt zu tun hat.

a und b sind vektoren

Danke:))

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Beim Skalarprodukt werden zwei Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) miteinander multipliziert, sodass ihr Ergebnis ein Skalar, also eine Zahl ist. Sind zum Beispiel die Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) aus dem Vektorraum \(V=\mathbb R^3\) gegeben, so gilt:

$$(\vec a+\vec b)^2=\overbrace{\overbrace{(\vec a+\vec b)}^{\in V}\cdot\overbrace{(\vec a+\vec b)}^{\in V}}^{\in \mathbb R}=\overbrace{\vec a\cdot\vec a}^{\in\mathbb R}+\overbrace{2\cdot\vec a\cdot\vec b}^{\in \mathbb R}+\overbrace{\vec b\cdot\vec b}^{\in\mathbb R}=a^2+2ab\cos\angle(\vec a;\vec b)+b^2$$$$(\vec a-\vec b)^2=\underbrace{\underbrace{(\vec a-\vec b)}_{\in V}\cdot\underbrace{(\vec a-\vec b)}_{\in V}}_{\in\mathbb R}=\underbrace{\vec a\cdot\vec a}_{\in \mathbb R}-\underbrace{2\cdot\vec a\cdot\vec b}_{\in\mathbb R}+\underbrace{\vec b\cdot\vec b}_{\in\mathbb R}=a^2-2ab\cos\angle(\vec a;\vec b)+b^2$$

Die Mal-Zeichen in den Ausdrücken symbolisieren das Standard-Skalar-Produkt aus dem \(\mathbb R^3\), weil links und rechts als Argeumente Vektoren stehen. Die Plus-Zeichen sind die Addition aus dem Körper \(\mathbb R\).

Comments

Dankee

Und der cosinus ist immer 0 oder?

Weil bei (a+b)², muss man doch rechnen (a+b)*(a+b)*cos0=(a+b)² oder?

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Und wieso ist b○b=b²

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Das Skalar-Produkt von 2 Vektoren ist so definiert:$$\vec a\cdot \vec b=\|\vec a\|\cdot\|\vec b\|\cdot\cos\angle(\vec a;\vec b)$$Das heißt, du multiplizierst die Länge der beiden Vektoren miteinander und dann multiplizierst du das noch mit dem Cosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\).

Wenn die Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) senkrecht aufeinander stehen, ist der Winkel \(90^\circ\) und der Cosinus dieses Winkels ist \(=0\). Das heißt, das Skalarprodukt von senkrecht zueinander stehenden Vektoren ist immer \(=0\).$$\vec a\cdot\vec b=\|\vec a\|\cdot\|\vec b\|\cdot\underbrace{\cos\underbrace{\angle(\vec a;\vec b)}_{=90^\circ}}_{=0}=0$$

Ein Vektor ist immer parallel zu sich selbst, also ist der Winkel \(0^\circ\) und der Cosinus dieses Winkels ist \(=1\). Das heißt, das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist immer das Quadrat seiner Länge.$$\vec b^2=\underbrace{\|\vec b\|}_{=b}\cdot\underbrace{\|\vec b\|}_{=b}\cdot\underbrace{\cos\underbrace{\angle(\vec b;\vec b)}_{=0^\circ}}_{=1}=b\cdot b=b^2$$

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Danke:))

Das war sehr hilfreich

Answer 2

Ist (a+b)² ein skalarprodukt.

Das kann man zumindest so interpretieren :

Ist (a+b)*(a+b) .

Comments

Ich dachte immer ein skalarprodukt ist nur a Kreis b.

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Da sind viele Zeichen möglich.

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Also ist alles was quadriert ist ein skalarprodukt

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Muss dann cosinus 0 sein

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Weil ich hab ja die Formel a*b*cos

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Jedes Quadrat ist das Produkt aus zwei gleichen Faktoren. Der Winkel zwischen zwei gleichen Vektoren ist natürlich 0°.

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Dankee:))

Sie haben mir sehr weitergeholfen