Gebrochen rationale Funktion bilden?

Question

Hey,

Aufgabe: Bilde eine gebrochen rationale Funktion mit der Polstelle 3, die achsensymmetrisch zur y-achse ist und bilde eine gebrochen rationale Funktion mit der Polstelle 5, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Das mit den Polstellen verstehe ich, im Nenner jeweils z.B. x-3 und x-5, aber wie sieht es mit den Symmetrien aus?

Danke

Answer 1

Aloha :)

Wenn du eine Funktion \(f(x)\) hast und addierst dazu die Funktion \(f(-x)\), erhältst du eine achsensymmetrische Funktion. Eine Funktion mit der Polstelle \(x=3\) wäre z.B.$$f(x)=\frac{1}{x-3}$$Du brauchst aber eine achsensymmetrische Funktion, also addieren wir \(f(-x)\) dazu:$$g(x)=f(x)+f(-x)=\frac{1}{x-3}+\frac{1}{-x-3}=\frac{x+3-(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{6}{x^2-9}$$

~plot~ 6/(x^2-9) ; [[-10|10|-10|10]] ~plot~

Wenn du von einer Funktion \(f(x)\) die Funktion \(f(-x)\) subtrahierst, erhältst du eine punktsymmetrische Funktion. Eine Funktion mit der Polstelle \(x=5\) wäre z.B.$$f(x)=\frac{1}{x-5}$$Du brauchst eine punktsymmetrische Funktion, also subtrahieren wir \(f(-x)\):$$g(x)=f(x)-f(-x)=\frac{1}{x-5}-\frac{1}{-x-5}=\frac{x+5+(x-5)}{(x-5)(x+5)}=\frac{2x}{x^2-25}$$

~plot~ 2x/(x^2-25) ; [[-10|10|-10|10]] ~plot~

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

Bilde eine gebrochen rationale Funktion mit der Polstelle 3, die achsensymmetrisch zur y-achse ist

Bedingt durch die Achsen oder Punktsymmetrie bekommst du immer auch eine Polstelle mit negativer x-Koordinate.

~plot~ 1/((x-3)(x+3)) ~plot~

und bilde eine gebrochen rationale Funktion mit der Polstelle 5, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Eine Punktsymmetrische Funktion erhältst du wenn du eine Punktsymmetrische Funktion durch eine Achsensymmetrische Funktion teilst.

~plot~ x/((x-5)(x+5)) ~plot~