Bestimmen Sie den Grenzwert

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie den Grenzwert für

∑ n • xⁿ

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass es nur für |x| < 1 konvergent ist, weiß jedoch nicht, wie ich jetzt den Grenzwert berechne.

Vielen Dank für jegliche Hilfe ♥

Answer 1

Aloha :)

Da du bereits weißt, dass die Reihe für \(|x|<1\) konvergiert, kannst du die Reihe für diese \(x\) auch ableiten und dann den Grenzwert über die geometrische Reihe bestimmen:$$\phantom{=}\sum\limits_{n=1}^\infty n\cdot x^n=x\sum\limits_{n=1}^\infty n\cdot x^{n-1}=x\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{d}{dx}\left(x^n\right)=x\,\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{n=1}^\infty x^n\right)$$$$=x\,\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}-1\right)=x\,\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{x}{(1-x)^2}$$

Comments

Achso. Dankeschön für die Antwort. Deine Rechnung in der letzten Zeile, wo du wieder aufleitest verstehe ich aber leider nicht ganz.

Könntest du mir das vielleicht noch etwas erklären.

Vielen Dank für die Hilfe♥

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Ich "leite nicht auf", sondern ich leite ab:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}-1\right)=\frac{d}{dx}\left((1-x)^{-1}\right)=-(1-x)^{-2}\cdot(-1)=\frac{1}{(1-x)^2}$$Diese Ableitung muss dann nur noch mit \(x\) multipliziert werden.

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Achso. Ups. Dass es im Nenner steht mit d/dx hat mich wohl verwirrt. Vielen Dank für deine Hilfe♥