Wie geht dieses Beispiel zu Umkehrfunktionen?

Question

Aufgabe: Eine Polynomfunktion dritten Grades schneidet bei y= 16 die y-Achse, hat an der Stelle x=1 eine Nullstellen und an dieser Stelle einen Wendepunkt. Der Anstieg der Tangente an dieser Stelle beträgt -18. Ermittle den Funktionsterm

Problem/Ansatz:

Bei mir kommt irgendwie was komplett anderes als in den Lösungen raus (rauskommen sollte f(x)= 2x^3-6x^2-12x+16)).

Ich habe zunächst f(0)=16 gesetzt und für d kam 16 raus, was auch stimmt. Danach habe ich f(1)=0 genommen und da kam a+b+c+d=0 raus. Dann f‘‘(1)=0 —> 3a+b=0 und schließlich f‘(1)=-18 (Tangentenanstieg) und es kam 3a+2b+c=-18 raus. Danach habe ich in die Gleichungen b=-3a eingesetzt und damit habe ich dann versucht die restlichen Werte zu bekommen. Irgendwie kam alles dann doch nicht richtig raus. Könnte es jemand vielleicht übersichtlich erklären oder mich auf meine Fehler hinweisen? Danke im Vorhinein!!

Answer 1

Aloha :)

Zur Fahndung ausgeschrieben ist eine Polynomfunktion 3-ten Grades:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$$$f''(x)=6ax+2b$$

Die Gesuchte schneidet die \(y\)-Achse bei \(y=16\):$$16\stackrel!=f(0)=d\implies \underline{\underline{d=16}}$$

Die Gesuchte hab bei \(x=1\) eine Nullstelle:$$0\stackrel!=f(1)=a+b+c+16\implies\underline{\underline{a+b+c=-16}}$$

Die Gesuchte hat bei \(x=1\) die Steigung \((-18)\):$$-18=f'(1)=3a+2b+c\implies \underline{\underline{3a+2b+c=-18}}$$

Die Gesuchte hat bei \(x=1\) einen Wendepunkt:$$0\stackrel!=f''(1)=6a+2b\implies\underline{\underline{3a+b=0}}$$

Hier brauchen wir gar kein Gleichungssystem zu lösen, denn:$$-18=3a+2b+c=\underbrace{(3a+b)}_{=0}+\underbrace{b+c}_{=-16-a}=-16-a$$$$\implies a=2\quad;\quad b=-3a=-6\quad;\quad c=-16-a-b=-12$$

Damit haben wir die Gesuchte:$$\boxed{f(x)=2x^3-6x^2-12x+16}$$

~plot~ 2x^3-6x^2-12x+16 ; {0|16} ; {1|0} ; -18x+18 ;[[-3|5|-22|22]] ~plot~

Comments

Könntest du vielleicht erklären, weshalb man hier kein Gleichungssystem braucht? Also diesen Teil habe ich nicht ganz verstanden :/

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Man kann die Lösung sehr schnell erkennen.

Wir haben zum einen die Gleichung \(3a+b=0\).

Wir haben aber auch die Gleichung \(3a+2b+c=-18\)

In dieser zweiten Gleichung steckt \((3a+b)\) drin, was aber \(=0\) ist:$$-18=3a+2b+c=(3a+\overbrace{b)+b}^{=2b}+c=0+b+c\implies b+c=-18$$

Weiter haben wir die Gleichung \(a+b+c=-16\).

Darin können wir \((b+c)\) durch \((-18)\) ersetzen:$$-16=a+b+c=a-18\implies a=2$$

Damit sind dann \(b=-3a=-6\) und \(c=-18-b=-12\) auch sofort klar.

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Es macht schon Sinn, aber mich würde es trotzdem interessieren, wie man da mit Gleichungssysteme vorangeht, weil ich so immer rechne . Also ich habe z.B. -3a in die Gleichungen eingesetzt und erhielt -2a+c+16=0 und -3a+c=-18. Muss man danach eliminieren?

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Da \(d=16\) ja bereits bekannt ist, können wir uns beim Gleichungssystem auf \(a\), \(b\) und \(c\) beschränken:$$\begin{array}{rrr|r|l}a & b & c & = &\text{Aktion}\\\hline1 & 1 & 1 & -16 &\\3 & 2 & 1 & -18 &-Z_3\\3 & 1 & 0 & 0 & -3Z_1\\\hline1 & 1 & 1 & -16 &-Z_2\\0 & 1 & 1 & -18 &\\0 & -2 & -3 & 48 &+2Z_2\\\hline1 & 0 & 0 & 2 &\\0 & 1 & 1 & -18 &+Z_3\\0 & 0 & -1 & 12 &\cdot(-1)\\\hline1 & 0 & 0 & 2 &\\0 & 1 & 0 & -6 &\\0 & 0 & 1 & -12 &\\\hline\hline\end{array}$$

Answer 2

Ich habe zunächst f(0)=16 gesetzt und für d kam 16 raus, was auch stimmt.

Danach habe ich f(1)=0 genommen und da kam a+b+c+d=0 raus. ✓

Dann f‘‘(1)=0 ==>   3a+b=0 ✓

und schließlich f‘(1)=-18 (Tangentenanstieg) und es kam 3a+2b+c=-18 raus. ✓

Danach habe ich in die Gleichungen b=-3a eingesetzt, das gibt

a -3a + c +16=0    ==>   -2a +c = -16    und
3a -6a +c =-18    ==>      3a + c = -18

also c= -16+2a und c = -18 -3a also

-16+2a = -18 + 3a ==>   2 = a .

Comments

6a+2b=0 oder 3a+b=0 macht wohl keinen Unterschied.

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Diese Schritte konnte ich ganz gut nachvollziehen, außer den letzten irgendwie. Könnte man nicht -2a+c+16=0 und -3a+c=-18 eliminieren, sodass man dann -5a+16=-18 erhält & danach einfach nach a umformen oder ist das falsch?

Answer 3

Benutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Text erkannt:

Eigenschaften eingeben
\( \begin{array}{l} f(0)=16 \\ f(1)=0 \\ f^{\prime \prime}(1)=0 \\ f^{\prime}(1)=-18 \end{array} \)
Berechnen
Gleichungssystem:
\( \begin{array}{l} d=16 \\ a+b+c+d=0 \\ 6 a+2 b=0 \\ 3 a+2 b+c=-18 \end{array} \)
Errechnete Funktion und Ableitung(en):
\( \begin{array}{l} f(x)=2 \cdot x^{\wedge} 3-6 \cdot x^{\wedge} 2-12 \cdot x+16 \\ f^{\prime}(x)=6 \cdot x^{2}-12 \cdot x-12 \\ f^{\prime} \prime(x)=12 \cdot x-12 \\ f^{\prime} \prime^{\prime}(x)=12 \end{array} \)

Answer 4

Eine Polynomfunktion dritten Grades schneidet bei y= 16 die y-Achse, hat an der Stelle x=1 eine Nullstellen und an dieser Stelle einen Wendepunkt. Der Anstieg der Tangente an dieser Stelle beträgt -18. Ermittle den Funktionsterm

f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d

f(0)=d                   1.) d=16

f(1)=a+b+c+16      2.) a+b+c=-16

f´(x)=3ax^2+2bx+c

f´(1)=3a+2b+c        3.)3a+2b+c=-18

f´´(x)=6ax+2b

f´´(1)=6a+2b         4.)  6a+2b=0   4.) b=-3a       4.) b=-6       

4.) in 2.)    a-3a+c=-16      2.)-2a+c=-16       2.) c=  2a-16     2.)c=-12

4.) in 3.)   3a-6a+c=-18      3.)  -3a+c=-18     3.)  -3a+2a-16=-18      3.) a=2

f(x)=2*x^3-6*x^2-12x+16