Berechnen Sie approximativ mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 10.000 …

Question

Aufgabe:

Für eine Umfrage des Meinungsforschungsinstituts Wahltrend sollen in Deutschland Personen nach ihrer Wahlgunst am Telefon befragt werden. Aus Erfahrung weiß das Institut, dass im Durchschnitt nur 50% der Personen am Telefon an einer solchen Umfrage teilnehmen möchten.

Hierbei kann angenommen werden, dass sich die Personen unabhängig voneinander entscheiden, ob sie an der Umfrage
teilnehmen möchten.

Das Institut beauftragt nun ein Call-Center bei 10.000 Personen anzurufen.
Berechnen Sie approximativ mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 10.000 angerufenen Personen mehr als 5.050 an der Umfrage teilnehmen möchten.

Problem/Ansatz:

Wie soll ich das denn berechnen? Ich kenne ja nur n=10.000 und E = 0,5, aber mehr Informationen habe ich doch nicht?
Und wie soll ich meine Zufallsvariable X wählen?

Answer 1

Aloha :)

Hierbei handelt es sich um eine Binomialverteilung mit \(n=10\,000\) und \(p=0,5\).

Für ihren Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\) gilt:$$\mu=n\cdot p=5000\quad;\quad\sigma^2=n\cdot p\cdot(1-p)=2500\implies\sigma=50$$Wegen \(\sigma^2>9\) kann diese Binomialverteilung auf Basis des zentralen Grenzwertsatzes hervorragend durch eine Normalverteilung angenähert werden. Da die Anzahl der Teilnehmer jedoch ein diskreter Wert ist, benötigen wir für die entsprechende kontinuierliche Zufallsvariable \(X\) die Stetigkeitskorrektur, also die Addition von \(0,5\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als \(5050\) Personen teilnehmen möchten, ist daher:$$P(X>5050,5)=1-P(X<5050,5)=1-\Phi\left(\frac{5050,5-5000}{50}\right)$$$$\phantom{P(X>5050,5)}=1-\Phi(1,01)=1-0,843752=0,156248\approx15,62\%$$

Answer 2

n = 10000 ; p = 0.5

μ = n·p = 5000 ; σ = √(n·p·(1 - p)) = 50

P(x > 5050) = 1 - NORMAL((5050.5 - 5000)/50) = 0.1562