Lösen von Differentialgleichungen & partielle Integration

Question

Ich hänge gerade an folgender Differentialgleichung:

y' = x*y*e^x

Mit dem Anfangswert: y(1) = 1

Meine Idee war folgende:

$$\frac{dy}{dx}= xye^{x}\text{ |*dx :y }$$

$$\frac{1}{y}dy= xe^{x}dx$$

Umbenennen der Variablen und Integrieren:

$$\int \limits_{1}^{y}\frac{1}{r}dr = \int \limits_{1}^{x}se^{s}ds$$

Bei $$\int \limits_{1}^{x}se^{s}ds$$ über partielle Integration:

$$\int \limits_{1}^{x}se^{s}ds = \left[e^{s}* s\right]-\int \limits_{1}^{x}e^{s}$$

$$\int \limits_{1}^{x}se^{s}ds = e^{x}*x-e-(e^{x}-e)$$

Das Integral von 1/y ist ln:

$$ln(y) - ln(1)= e^{x}*x -e^{x}$$

e-Funktion anwenden:

$$y = e^{e^{x}x-e^{x}}$$

Das sieht allerdings nicht wirklich richtig aus. Weiß jemand, wo mein Fehler beim Integrieren liegt?

Vielen Dank schon mal.

Answer 1

Deine Lösung ist aus, denn wenn du y auf der rechten Seite gleich deine Lösung setzt und dann die Ableitung von deiner Lösung auf der linken Seite d. Gleichung rechnest, siehst du, dass beide Seiten gleich sind. Also ist deine Lösung richtig.

Answer 2

Hallo,

Dein Ergebnis stimmt. Das kannst Du durch Wolfram Alpha überprüfen.

https://www.wolframalpha.com/input?i=y%27+%3D+x*y*e%5Ex%2Cy%281%29+%…

$y(x)=e^{e^{x}(x-1)}$

Comments

Danke für den Tipp!