Welche Reihe kann ich hier zum abschätzen benutzen?

Question

Aufgabe:

Prüfe, ob die Reihe konvergiert

Text erkannt:

\( \left(\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{k^{2}}{(k+17)^{3}}\right) n \in \mathbb{N} \)

Ich weiß, das die Reihe nicht konvergiert und ich das Minorantenkriterium nutzen muss. Welche Reihe kann ich hier zum abschätzen benutzen ?

Answer 1

Für hinreichend großes k ( z.B. größer 10) ist k+17 < 2k , also

\( \frac{k^{2}}{(k+17)^{3}} \gt \frac{k^{2}}{(2k)^{3}}  = \frac{k^{2}}{8k^3}  =\frac{1}{8k} \)

Angenommen der Rest der Reihe (also etwa ab k=10) konvergiert,

dann könnte man 1/8 herausziehen und behält als Rest die

harmonische Reihe, die konvergiert aber eben nicht.

Answer 2

Schätze mit Hilfe der harmonischen Reihe ab.

1/k lässt sich als k²/k³ schreiben, mit dieser Form kommst du zumindest in die Nähe von k²/(k+17)³

Nun ist k²/k³ zwar größer als k²/(k+17)³, aber z.B. k²/2k³ ist für fast alle k kleiner als k²/(k+17)³.